[论文解读] Data Base Mappings and Monads: (Co)Induction

Zoran Majkić|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2011

Advanced Database Systems and Queries参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过在 $DB$ 范畴中使用幂视图单子 $T$ 和单子代数，为关系数据库映射引入了范畴语义，其中数据库实例是对象，基于视图的映射是态射。它证明了 $T$ 的 Kleisli 范畴可作为查询等价性 $\approx$ 下的 GLAV 映射模型，并表明 endofunctor $\Sigma_{R_A}$ 的终余代数构成一个完全迭代单子，从而通过终余代数原理实现共归纳查询重写与语义。

ABSTRACT

In this paper we presented the semantics of database mappings in the relational DB category based on the power-view monad T and monadic algebras. The objects in this category are the database-instances (a database-instance is a set of n-ary relations, i.e., a set of relational tables as in standard RDBs). The morphisms in DB category are used in order to express the semantics of view-based Global and Local as View (GLAV) mappings between relational databases, for example those used in Data Integration Systems. Such morphisms in this DB category are not functions but have the complex tree structures based on a set of complex query computations between two database-instances. Thus DB category, as a base category for the semantics of databases and mappings between them, is different from the Set category used dominantly for such issues, and needs the full investigation of its properties. In this paper we presented another contributions for an intensive exploration of properties and semantics of this category, based on the power-view monad T and the Kleisli category for databases. Here we stressed some Universal algebra considerations based on monads and relationships between this DB category and the standard Set category. Finally, we investigated the general algebraic and induction properties for databases in this category, and we defined the initial monadic algebras for database instances.

研究动机与目标

• 开发一个使用单子和普遍代数的关系数据库映射范畴框架。
• 在 $DB$ 范畴中形式化全局视图（GLAV）映射的语义，其中态射为复杂查询树而非函数。
• 确立 $T$ 的 Kleisli 范畴作为数据库映射的模型，至多考虑查询等价性 $\approx$。
• 研究 $DB$ 范畴中数据库实例的（共）归纳与代数性质，包括初等代数与终等代数。
• 证明数据库查询是 $T$-余代数，且查询重写由这类余代数之间的态射所捕获。

提出的方法

• 在 $DB$ 范畴中定义数据库实例为对象，基于视图的映射为态射，其中态射以复杂树状结构的查询计算表示。
• 在 $DB$ 上引入幂视图单子 $T$ 作为自函子，其中 $TA$ 表示通过 SPJRU 查询计算出的 $A$ 的所有视图的集合。
• 使用商项代数 $\mathcal{L}_A/_{\approx}$ 表示视图，且通过一个典范双射 $is_A$ 使得 $TA$ 同构于该代数。
• 将 $\Sigma_{R_A}$-余代数的终余代数 $T_\infty A$ 构造为 $T$ 的最大不动点，表示数据库的所有有限与无限视图。
• 建立 $T_\infty$-余代数的共归纳原理，从而实现映射沿余代数结构的唯一共归纳扩展 $f^\#$.
• 证明 $T$ 的 Kleisli 范畴同构于 $DB$，且该范畴中的态射等价地建模了按值调用与按名调用的语义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $DB$ 范畴中使用单子与范畴论形式化关系数据库之间 GLAV 映射的语义？
• RQ2 幂视图单子 $T$ 在建模数据库视图与查询计算中扮演何种角色？
• RQ3 初等与终 $T$-代数及余代数如何促进数据库的代数与共归纳语义？
• RQ4 $T$ 的 Kleisli 范畴如何作为至多考虑查询等价性 $\approx$ 的数据库映射模型？
• RQ5 如何通过 $DB$ 范畴中的余代数态射捕获共归纳查询重写？

主要发现

• $DB$ 范畴与其对偶范畴同构，具有对称性：每个数据库均可由其恒等态射表示，且每个态射均为闭对象。
• $T$ 的 Kleisli 范畴同构于 $DB$ 范畴，验证了其作为至多考虑查询等价性 $\approx$ 的 GLAV 映射语义模型的有效性。
• 每个数据库查询对应一个 $T$-余代数，且 $T$-余代数之间的态射为查询重写提供了语义。
• 终 $\Sigma_{R_A}$-余代数 $T_\infty A$ 是自函子 $\Sigma_{R_A} = \Sigma_R + A$ 的最大不动点，表示一个数据库的所有有限与无限视图。
• $T_\infty$ 中的共归纳原理支持唯一共归纳扩展 $f^\#$，其定义了 $T_\infty f$ 作为 $\Sigma_R$-余代数之间同态的语义。
• 终余代数 $T_\infty$ 构成一个完全迭代单子 $(T_\infty, \eta, \mu)$，为数据库映射上的共归纳推理提供了基础。