[论文解读] Data-Driven Approximation of Transfer Operators: Naturally Structured Dynamic Mode Decomposition

Bowen Huang, Umesh Vaidya|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文提出自然结构动态模式分解（NSDMD），一种数据驱动算法，在从时间序列数据进行有限维近似时，保持科波曼（Koopman）和佩龙-弗罗贝尼乌斯（Perron-Frobenius, P-F）转移算子的正性和马尔可夫性质。通过将近似问题表述为凸的、带约束的最小二乘优化问题，NSDMD确保了稳定且具有物理意义的特征值与特征函数，显著提升了标准DMD和EDMD在稳态与瞬态动力学预测方面的准确性。

ABSTRACT

In this paper, we provide a new algorithm for the finite dimensional approximation of the linear transfer Koopman and Perron-Frobenius operator from time series data. We argue that existing approach for the finite dimensional approximation of these transfer operators such as Dynamic Mode Decomposition (DMD) and Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD) do not capture two important properties of these operators, namely positivity and Markov property. The algorithm we propose in this paper preserve these two properties. We call the proposed algorithm as naturally structured DMD since it retains the inherent properties of these operators. Naturally structured DMD algorithm leads to a better approximation of the steady-state dynamics of the system regarding computing Koopman and Perron- Frobenius operator eigenfunctions and eigenvalues. However preserving positivity properties is critical for capturing the real transient dynamics of the system. This positivity of the transfer operators and it's finite dimensional approximation also has an important implication on the application of the transfer operator methods for controller and estimator design for nonlinear systems from time series data.

研究动机与目标

• 解决现有DMD与EDMD方法在近似转移算子时缺乏结构保持的问题。
• 确保科波曼与P-F算子的有限维近似保留关键性质：正性和马尔可夫性质。
• 提升非线性系统中稳态与瞬态动力学的特征函数与特征值估计精度。
• 实现稳定、结构保持的科波曼矩阵近似，并保证最大特征值恰好为1。
• 通过数据驱动的转移算子方法，支持非线性系统的控制器与观测器设计。

提出的方法

• 将有限维科波曼算子近似表述为带正性和马尔可夫约束的凸最小二乘优化问题。
• 通过约束科波曼矩阵的行和为1来强制实现马尔可夫性质，确保最大特征值恰好为1。
• 使用基函数字典（例如径向基函数）将状态空间数据映射到可观测空间。
• 利用科波曼与P-F算子之间的伴随关系，从科波曼矩阵推导P-F算子近似。
• 应用k-means聚类从时间序列数据中选择径向基函数的中心，以实现高效近似。
• 通过保持转移算子及其有限维近似的正性，确保稳定性和物理一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种数据驱动方法，能够在近似转移算子时保持科波曼与P-F算子固有的正性和马尔可夫性质？
• RQ2 在有限维近似中强制结构化是否能提升稳态动力学特征函数与特征值估计的准确性？
• RQ3 结构保持对科波曼矩阵近似在瞬态行为与稳定性方面有何影响？
• RQ4 所提出的方法是否能通过数据计算李雅普诺夫测度获得稳定性证书？
• RQ5 NSDMD在捕捉不变测度与吸引子动力学方面，相较于标准DMD与EDMD有何表现？

主要发现

• NSDMD确保科波曼矩阵的最大特征值恰好为1，保证了稳定性，而EDMD可能产生不稳定矩阵（例如范德波尔振子中λ = 1.001）。
• 使用NSDMD进行有限维P-F算子近似时，正确捕捉了对应于系统不变测度的特征函数（特征值为1），在亨顿映射与洛伦兹吸引子的实例中得到验证。
• 在杜芬振子中，NSDMD计算出的前两个主导科波曼特征函数准确反映了两个平衡点的吸引域。
• 作为稳定性证书，通过NSDMD计算的李雅普诺夫测度揭示了轨迹在状态空间不同区域停留的相对时间，如范德波尔振子实例所示。
• 在洛伦兹吸引子中，NSDMD成功捕捉了对应于特征值1与0.9762的主导P-F特征函数，反映了混沌吸引子的结构。
• NSDMD在近似稳态动力学方面优于标准DMD与EDMD，尤其在保持正确谱特性与瞬态行为方面表现更优。