[论文解读] Data-driven dimensional analysis: algorithms for unique and relevant dimensionless groups

Paul G. Constantine, Zachary del Rosario+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Model Reduction and Neural Networks被引用 16

一句话总结

本文提出两种数据驱动算法，通过将经典量纲分析与主动子空间及实验/计算数据相结合，生成唯一且相关的无量纲量群。这些方法利用响应面或有限差分法识别按相关性排序的无量纲量群，在湍流和层流管道流中进行了验证，为湍流情况提供了全新的、有序的两个无量纲量群。

ABSTRACT

Classical dimensional analysis has two limitations: (i) the computed dimensionless groups are not unique, and (ii) the analysis does not measure relative importance of the dimensionless groups. We propose two algorithms for estimating unique and relevant dimensionless groups assuming the experimenter can control the system's independent variables and evaluate the corresponding dependent variable; e.g., computer experiments provide such a setting. The first algorithm is based on a response surface constructed from a set of experiments. The second algorithm uses many experiments to estimate finite differences over a range of the independent variables. Both algorithms are semi-empirical because they use experimental data to complement the dimensional analysis. We derive the algorithms by combining classical semi-empirical modeling with active subspaces, which---given a probability density on the independent variables---yield unique and relevant dimensionless groups. The connection between active subspaces and dimensional analysis also reveals that all empirical models are ridge functions, which are functions that are constant along low-dimensional subspaces in its domain. We demonstrate the proposed algorithms on the well-studied example of viscous pipe flow---both turbulent and laminar cases. The results include a new set of two dimensionless groups for turbulent pipe flow that are ordered by relevance to the system; the precise notion of relevance is closely tied to the derivative based global sensitivity metric from Sobol' and Kucherenko.

研究动机与目标

• 解决经典量纲分析中存在的非唯一性及缺乏相关性评估的问题。
• 利用受控实验或模拟中的数据，实现唯一且相关的无量纲量群识别。
• 将主动子空间与量纲分析相结合，提供一种衡量量群重要性的系统性方法。
• 开发适用于不同数据可用性和成本的计算机实验的实用算法。
• 在黏性管道流中验证该方法，揭示了湍流流动中全新的、有序的无量纲量群集合。

提出的方法

• 利用少量实验构建响应面模型，以估计输出对输入变量的依赖关系。
• 对响应面应用主动子空间方法，通过计算黑塞矩阵的特征向量和特征值，识别低维结构。
• 从主动子空间基底推导无量纲量群，通过灵敏度度量确保其唯一性和相关性。
• 在高通量场景下，通过大量模型评估数值估计偏导数，以计算基于灵敏度的指数。
• 利用基于导数的全局敏感性度量，对所得无量纲量群按其相关性进行排序。
• 通过旋转输入空间使其与最具影响力的方向对齐，从而获得唯一且有序的无量纲量群集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典量纲分析能否通过引入数据，实现唯一且相关的无量纲量群生成？
• RQ2 如何利用主动子空间以数据驱动方式定义无量纲量群的唯一基底？
• RQ3 数据量和质量对所计算无量纲量群精度的影响如何？
• RQ4 在不同实验设置下，所提出的算法在计算成本和精度方面的表现如何比较？
• RQ5 能否证明新提出的湍流管道流无量纲量群比经典的雷诺数和相对粗糙度更具相关性？

主要发现

• 所提出的算法通过将量纲分析与基于主动子空间的数据驱动灵敏度分析相结合，生成了唯一无量纲量群。
• 对于湍流管道流，该方法识别出一组全新的两个无量纲量群，其按相关性有序排列，其中第一组具有显著更高的影响力。
• 基于响应面的算法1仅需1,000次模型评估，但依赖于表面精度；算法2使用483,153次评估以获得更高精度。
• 基于有限差分的算法2因直接估计导数而无需响应面近似，因此精度更高。
• 主动子空间与量纲分析的结合揭示了所有经验模型均为岭函数，表明输入-输出关系中存在低维结构。
• 结果表明，在湍流流动中，经典与新无量纲量群表示之间存在127度的旋转，证实了重要性顺序的重新排列。