[论文解读] Data-driven discovery of partial differential equations

Samuel Rudy|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2016

Time Series Analysis and Forecasting被引用 3

一句话总结

本文提出PDE-FIND，一种稀疏回归方法，可从固定空间位置（欧拉框架）或随动力学移动的传感器（拉格朗日框架）采集的时间序列数据中，自动发现控制系统的偏微分方程（PDE）。通过结合稀疏性促进回归与Pareto分析，该方法能准确识别出稀疏且具有物理意义的PDE，如纳维-斯托克斯方程、科特韦格-德弗里斯方程和薛定谔方程，即使在存在噪声和数据子采样条件下，也能实现对复杂系统中物理定律的稳健发现，尤其适用于第一性原理推导不可行的场景。

ABSTRACT

We propose a sparse regression method capable of discovering the governing partial differential equation(s) of a given system by time series measurements in the spatial domain. The regression framework relies on sparsity promoting techniques to select the nonlinear and partial derivative terms terms of the governing equations that most accurately represent the data, bypassing a combinatorially large search through all possible candidate models. The method balances model complexity and regression accuracy by selecting a parsimonious model via Pareto analysis. Time series measurements can be made in an Eulerian framework where the sensors are fixed spatially, or in a Lagrangian framework where the sensors move with the dynamics. The method is computationally efficient, robust, and demonstrated to work on a variety of canonical problems of mathematical physics including Navier-Stokes, the quantum harmonic oscillator, and the diffusion equation. Moreover, the method is capable of disambiguating between potentially non-unique dynamical terms by using multiple time series taken with different initial data. Thus for a traveling wave, the method can distinguish between a linear wave equation or the Korteweg-deVries equation, for instance. The method provides a promising new technique for discovering governing equations and physical laws in parametrized spatio-temporal systems where first-principles derivations are intractable.

研究动机与目标

• 开发一种数据驱动的方法，从时空中的时间序列测量中发现控制偏微分方程（PDE）。
• 解决在第一性原理推导不可行时（如神经科学、流行病学和流体动力学等复杂系统）识别PDE的挑战。
• 通过Pareto分析平衡模型准确率与复杂度，实现基于稀疏回归的鲁棒PDE发现。
• 在经典数学物理模型（包括非线性和耗散系统）上展示该方法的能力。
• 通过使用不同初始条件的多组时间序列，区分非唯一的动力学项。

提出的方法

• 从时间序列数据中构建一个包含非线性函数和状态变量空间导数的候选项大规模库。
• 应用稀疏回归识别最能表征数据的最小项集合，通过L0-范数最小化促进模型简洁性。
• 算法采用压缩感知技术，在保持回归精度的同时通过子采样降低计算成本。
• 支持欧拉框架（固定传感器）和拉格朗日框架（移动传感器）两种数据采集方式，以适应不同测量场景。
• 利用Pareto分析平衡模型复杂度与回归误差，选择稀疏性与准确率之间的最优折中。
• 该方法实现为PDE-FIND（PDE功能识别非线性动力学），并提供开源代码。

实验结果

研究问题

• RQ1 稀疏回归能否扩展至从时间序列数据中发现偏微分方程，而不仅限于常微分方程？
• RQ2 在欧拉和拉格朗日框架下，如何从含噪声、采样数据中稳健识别空间导数和非线性项？
• RQ3 该方法能否区分非唯一的动力学模型，例如在孤立子动力学中区分线性波动方程与科特韦格-德弗里斯方程？
• RQ4 在仍能准确恢复真实控制PDE的前提下，该方法可容忍多大程度的数据子采样和噪声？
• RQ5 该方法能否泛化至训练数据中未包含的参数区域，如纳维-斯托克斯方程中更高的雷诺数？

主要发现

• 在无噪声条件下，该方法成功识别出雷诺数Re = 100的纳维-斯托克斯方程，重建误差为1% ± 0.2%；在1%噪声下，误差为7% ± 6%。
• 对于科特韦格-德弗里斯（KdV）方程，无噪声时误差为1% ± 0.2%，1%噪声下为7% ± 5%，即使仅使用完整数据的2.22%进行子采样，仍保持高精度。
• 在无噪声条件下，该方法准确恢复了薛定谔方程，误差为0.25% ± 0.01%；在1%噪声下，误差为10% ± 7%。
• 在反应-扩散系统中，无噪声时误差为0.02% ± 0.01%，0.5%噪声下为3.8% ± 2.4%，表明对中等噪声具有强鲁棒性。
• 该方法实现了对雷诺数Re = 10,000的湍流纳维-斯托克斯动力学的准确预测，所用模型仅在Re = 100下进行训练，展示了超越训练区间的泛化能力。
• 通过使用多组初始条件，成功区分了竞争性PDE，例如在孤立子动力学中区分了KdV方程与线性波动方程。