[论文解读] Data-driven discretization: a method for systematic coarse graining of partial differential equations

Yohai Bar‐Sinai, Stephan Hoyer+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2018

Computer Graphics and Visualization Techniques被引用 8

一句话总结

本文提出数据驱动的离散化方法，这是一种基于神经网络的方法，通过在高保真解上进行训练，学习偏微分方程（PDEs）的优化粗粒度数值格式。通过在低分辨率网格上端到端优化空间导数近似，该方法实现的精度比标准有限差分法高4–8倍，从而能够在宽广的时空尺度上实现非线性PDE的稳定且精确的积分。

ABSTRACT

The numerical solution of partial differential equations (PDEs) is challenging because of the need to resolve spatiotemporal features over wide length and timescales. Often, it is computationally intractable to resolve the finest features in the solution. The only recourse is to use approximate coarse-grained representations, which aim to accurately represent long-wavelength dynamics while properly accounting for unresolved small scale physics. Deriving such coarse grained equations is notoriously difficult, and often \emph{ad hoc}. Here we introduce \emph{data driven discretization}, a method for learning optimized approximations to PDEs based on actual solutions to the known underlying equations. Our approach uses neural networks to estimate spatial derivatives, which are optimized end-to-end to best satisfy the equations on a low resolution grid. The resulting numerical methods are remarkably accurate, allowing us to integrate in time a collection of nonlinear equations in one spatial dimension at resolutions 4-8x coarser than is possible with standard finite difference methods.

研究动机与目标

• 解决在宽广时空尺度下数值求解PDE的挑战，其中精细分辨率的计算不可行。
• 克服现有经验性粗粒化方法缺乏系统推导和精度保证的局限性。
• 开发一种数据驱动框架，直接从底层PDE的解中学习准确且优化的数值离散化格式。
• 实现非线性PDE在显著低于标准有限差分法的空间分辨率下稳定且精确的时间积分。

提出的方法

• 该方法使用神经网络在低分辨率网格上估计空间导数，替代传统的有限差分模板。
• 网络参数通过端到端训练进行优化，以最小化粗网格上PDE的残差误差，确保所学格式尽可能满足方程。
• 训练数据由已知PDE的高分辨率解构成，为监督提供精确的真实动力学。
• 该方法被应用于一维空间中的多种非线性PDE，展示了在不同方程间的泛化能力。
• 所得到的数值格式使用标准时间积分器向前推进PDE的时间演化，其中所学的空间算子确保了稳定性和准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以利用神经网络系统性地学习PDE的粗粒度离散化，使其在更粗分辨率下优于标准有限差分法？
• RQ2 数据驱动的导数近似在考虑未解析的小尺度物理时，能否准确再现长波长动力学？
• RQ3 所学的数值格式在具有相似结构的不同非线性PDE之间，其泛化能力有多大？
• RQ4 在何种程度上，该数据驱动方法仍能实现稳定且精确的时间积分，其最大分辨率粗化程度（以网格间距衡量）是多少？

主要发现

• 数据驱动的离散化方法在空间分辨率比标准有限差分法高4–8倍的条件下，实现了非线性PDE的稳定时间积分。
• 所学的数值格式在捕捉长波长动力学方面保持了高精度，即使底层物理涉及复杂的小尺度相互作用。
• 该方法通过在更粗网格上进行模拟，显著降低了计算成本，同时不损失解的保真度。
• 在PDE残差上对神经网络进行端到端训练，可得到优于手工设计的有限差分模板的导数近似，具有更高的精度和鲁棒性。