[论文解读] Data-driven Efficient Solvers and Predictions of Conformational Transitions for Langevin Dynamics on Manifold in High Dimensions.

Yuan Gao, Jianguo Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2020

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文提出了一种数据驱动的无条件稳定迎风格式，用于在通过扩散映射获得的反应坐标上求解流形上的福克-普朗克方程。通过利用高斯过程回归推断平衡势能，并将轨迹投影回高维空间，该方法实现了对高维系统构象转变的高效、结构保持模拟。

ABSTRACT

We work on dynamic problems with collected data $\{\mathsf{x}_i\}$ that distributed on a manifold $\mathcal{M}\subset\mathbb{R}^p$. Through the diffusion map, we first learn the reaction coordinates $\{\mathsf{y}_i\}\subset \mathcal{N}$ where $\mathcal{N}$ is a manifold isometrically embedded into an Euclidean space $\mathbb{R}^\ell$ for $\ell \ll p$. The reaction coordinates enable us to obtain an efficient approximation for the dynamics described by a Fokker-Planck equation on the manifold $\mathcal{N}$. By using the reaction coordinates, we propose an implementable, unconditionally stable, data-driven upwind scheme which automatically incorporates the manifold structure of $\mathcal{N}$. Furthermore, we provide a weighted $L^2$ convergence analysis of the upwind scheme to the Fokker-Planck equation. The proposed upwind scheme leads to a Markov chain with transition probability between the nearest neighbor points. We can benefit from such property to directly conduct manifold-related computations such as finding the optimal coarse-grained network and the minimal energy path that represents chemical reactions or conformational changes. To establish the Fokker-Planck equation, we need to acquire information about the equilibrium potential of the physical system on $\mathcal{N}$. Hence, we apply a Gaussian Process regression algorithm to generate equilibrium potential for a new physical system with new parameters. Combining with the proposed upwind scheme, we can calculate the trajectory of the Fokker-Planck equation on $\mathcal{N}$ based on the generated equilibrium potential. Finally, we develop an algorithm to pullback the trajectory to the original high dimensional space as a generative data for the new physical system.

研究动机与目标

• 通过数据驱动的降维方法，实现对高维流形上福克-普朗克动力学的高效、稳定数值求解。
• 开发一种具有流形感知能力的数值格式，以保持几何结构并确保无条件稳定性。
• 通过高斯过程回归学习平衡势能，预测未知参数的新物理系统中的构象转变。
• 通过将低维动力学回拉至原始空间，为新系统生成高维轨迹。
• 支持粗粒化建模任务，如识别最小能量路径和最优反应网络。

提出的方法

• 应用扩散映射从高维数据中提取反应坐标，将流形等距嵌入低维欧几里得空间。
• 在反应坐标流形上构建一种无条件稳定、数据驱动的迎风有限差分格式，以尊重底层几何结构。
• 采用加权 $L^2$ 收敛性分析，建立迎风格式在福克-普朗克方程上的理论稳定性和准确性。
• 利用基于相似系统已有数据训练的高斯过程回归，对新物理系统的平衡势能进行建模。
• 使用推断出的势能和迎风格式，在低维流形上模拟福克-普朗克动力学。
• 将所得的低维轨迹回拉至原始高维空间，以生成新系统的合成数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅基于观测数据高效且稳定地模拟高维流形上的福克-普朗克动力学？
• RQ2 反应坐标在实现构象转变准确且稳定数值逼近中起到什么作用？
• RQ3 如何在无需完整重模拟的情况下，推广到具有未知参数的新物理系统？
• RQ4 数据驱动的迎风格式能否在确保数值稳定性的同时保持底层流形的几何结构？
• RQ5 如何基于低维动力学和学习到的势能，生成高保真度的高维轨迹？

主要发现

• 所提出的迎风格式具有无条件稳定性，并自动融入了反应坐标空间的流形结构。
• 加权 $L^2$ 收敛性分析证实了该数值格式在福克-普朗克方程上的理论准确性和鲁棒性。
• 高斯过程回归能够可靠地推断未知参数新物理系统的平衡势能。
• 该方法通过将低维动力学回拉至高维空间，成功生成了高维轨迹，从而实现了新系统的数据生成。
• 基于最近邻转移的马尔可夫链公式支持直接计算最小能量路径和最优粗粒化网络。
• 该框架实现了无需显式了解系统势能面知识的构象转变高效模拟。