[论文解读] Data-Driven Feedback Linearization using the Koopman Generator

Darshan Gadginmath, Vishaal Krishnan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 6

一句话总结

本文提出KGFL，一种数据驱动的反馈线性化方法，利用Koopman算子生成器从实验数据中识别状态与控制变换，在系统可反馈线性化时实现精确线性化。该方法将几何控制理论与算子理论的Koopman分析统一，实现有限维、幂零的Koopman生成器，并在字典完备时可精确恢复基于模型的解。

ABSTRACT

This paper contributes a theoretical framework for data-driven feedback linearization of nonlinear control-affine systems. We unify the traditional geometric perspective on feedback linearization with an operator-theoretic perspective involving the Koopman operator. We first show that if the distribution of the control vector field and its repeated Lie brackets with the drift vector field is involutive, then there exists an output and a feedback control law for which the Koopman generator is finite-dimensional and locally nilpotent. We use this connection to propose a data-driven algorithm Koopman Generator-based Feedback Linearization (KGFL) for feedback linearization. Particularly, we use experimental data to identify the state transformation and control feedback from a dictionary of functions for which feedback linearization is achieved in a least-squares sense. We also propose a single-step data-driven formula which can be used to compute the linearizing transformations. When the system is feedback linearizable and the chosen dictionary is complete, our data-driven algorithm provides the same solution as model-based feedback linearization. Finally, we provide numerical examples for the data-driven algorithm and compare it with model-based feedback linearization. We also numerically study the effect of the richness of the dictionary and the size of the data set on the effectiveness of feedback linearization.

研究动机与目标

• 通过统一几何控制理论与Koopman算子理论，弥合基于模型的反馈线性化与数据驱动控制之间的差距。
• 开发一种仅依赖实验轨迹、无需系统动力学显式知识的数据驱动算法，用于识别反馈线性化所需的状态与控制变换。
• 建立Koopman生成器变为有限维且幂零的理论条件，对应于可反馈线性化的系统。
• 证明当可观测量字典完备时，所提方法可恢复与基于模型的反馈线性化相同的解。
• 研究字典丰富度、数据集大小与采样率对数据驱动反馈线性化性能的影响。

提出的方法

• 该方法使用可观测量字典（如Hermite多项式、正弦函数）在最小二乘优化框架下表示状态变换 $ H(x) $ 和控制反馈 $ u = \alpha(x) + \beta(x)v $。
• 将反馈线性化问题表述为识别有限维且局部幂零的Koopman生成器矩阵，这对应于线性化变换的存在性。
• 通过动态模态分解（DMD）或扩展DMD（EDMD）从数据中计算Koopman生成器，以在可观测量的有限维子空间中逼近生成器。
• 推导出一种单步数据驱动公式，可直接从数据计算线性化变换，避免迭代优化。
• 该方法确保变换后系统的Koopman生成器为幂零，这意味着动力学存在有限维线性表示。
• 在Van der Pol振子和三维非线性系统上通过数值实验验证了该方法，与基于模型的反馈线性化及其他数据驱动基线方法进行性能比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可反馈线性化系统的Koopman生成器会变为有限维且幂零？
• RQ2 当可观测量字典完备时，数据驱动算法能否恢复与基于模型的反馈线性化相同的变换？
• RQ3 字典的丰富度与数据集大小如何影响所学习的反馈线性化变换的准确性？
• RQ4 采样率对数据驱动反馈线性化算法性能有何影响？
• RQ5 所提方法能否在输出反馈线性化中实现稳定的零动态，避免内部不稳定动力学？

主要发现

• 当字典完备时，所提KGFL算法在性能上与基于模型的反馈线性化相当，仅因近似误差导致轻微超调与调节时间差异。
• 衡量与基于模型线性化偏差的损失 $ Q_T $ 随字典丰富度增加而减小，直至Hermite多项式阶数为3，之后因过拟合而上升。
• 随着数据集规模从100增至800组样本，平均损失持续下降，表明更多数据可提升学习性能。
• 对于Van der Pol振子，采样间隔对性能影响极小，即使在0.001的低采样率下也未出现显著性能下降。
• 该算法成功利用包含至三阶Hermite多项式与 $ \sin(x) $ 的字典，对三维非线性系统实现稳定控制，证明其在高维系统中的可扩展性。
• 在全状态与输出反馈线性化任务中，KGFL在稳定复杂系统方面优于现有数据驱动方法[11]、[19]与[21]。