[论文解读] Data-Driven Finite Elements Methods: Machine Learning Acceleration of Goal-Oriented Computations

Ignacio Brevis, Ignacio Muga+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文提出了一种数据驱动的有限元方法，利用机器学习在Galerkin变分法中优化试函数，即使在粗网格上也能实现对目标量的高精度逼近。通过训练神经网络以残差在对偶范数下的最小化来参数化加权试函数空间，该方法在标准FEM基础上实现了更优的精度，且在1D扩散问题中实现了精确恢复。

ABSTRACT

We introduce the concept of data-driven finite element methods. These are finite-element discretizations of partial differential equations (PDEs) that resolve quantities of interest with striking accuracy, regardless of the underlying mesh size. The methods are obtained within a machine-learning framework during which the parameters defining the method are tuned against available training data. In particular, we use a stable parametric Petrov-Galerkin method that is equivalent to a minimal-residual formulation using a weighted norm. While the trial space is a standard finite element space, the test space has parameters that are tuned in an off-line stage. Finding the optimal test space therefore amounts to obtaining a goal-oriented discretization that is completely tailored towards the quantity of interest. As is natural in deep learning, we use an artificial neural network to define the parametric family of test spaces. Using numerical examples for the Laplacian and advection equation in one and two dimensions, we demonstrate that the data-driven finite element method has superior approximation of quantities of interest even on very coarse meshes

研究动机与目标

• 开发一种机器学习框架，以加速在粗网格上的目标导向有限元计算。
• 解决在粗离散化下使用标准FEM时难以实现目标量（QoIs）高精度的问题。
• 设计一种稳定且一致的参数化Petrov-Galerkin方法，仅通过神经网络训练试函数空间。
• 证明数据驱动的试函数调优可生成针对特定QoIs的最小残差解，即最优解。
• 通过与加权对偶范数下的最小残差公式等价性，建立理论稳定性。

提出的方法

• 该方法采用参数化Petrov-Galerkin公式，其中试函数空间由基于神经网络定义的权函数参数化，而试函数空间保持为标准有限元空间。
• 试函数空间通过基于参数化权函数的离散试函数到试函数算子构建，其稳定性源于与加权对偶范数下最小残差公式的等价性。
• 训练过程通过最小化基于高精度训练数据（在细网格上生成）的QoI误差定义的损失函数。
• 该方法等价于在离散对偶范数下最小化残差，从而确保QoI的稳定性和最优收敛性。
• 使用最多20个参数的神经网络表示权函数，实现灵活且自适应的试函数空间参数化。
• 离线训练阶段使用基于QoI误差的损失函数调整神经网络权重，而在线求解阶段则使用训练好的模型实现快速计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效利用机器学习优化有限元方法中的试函数，以提升粗网格上目标量的精度？
• RQ2 如何构建一种稳定且一致的参数化Petrov-Galerkin方法，使试函数空间可训练且方法保持稳定？
• RQ3 神经网络在定义试函数空间中的作用是什么？它如何实现QoI逼近的高精度？
• RQ4 在自由度最少的问题（如单自由度1D扩散问题）中，该数据驱动方法能否实现QoI的精确恢复？
• RQ5 参数化权函数的丰富程度如何影响方法的性能与收敛性？

主要发现

• 该数据驱动有限元方法即使在极粗的网格上，也能在目标量上实现显著的精度，优于标准Galerkin方法。
• 在单自由度1D扩散问题中，当权函数足够丰富时，该方法可实现QoI的精确恢复。
• 由于与加权对偶范数下最小残差公式的等价性，该方法具有稳定性和收敛性。
• 数值实验表明，即使在粗离散化下，该方法在1D和2D的Laplace方程与对流方程中也显著提升了QoI的精度。
• 利用神经网络参数化试函数空间，可在不改变试函数空间的前提下实现灵活且目标导向的自适应。
• 先验误差估计表明收敛率取决于投影算子范数，其上界由权函数与inf-sup常数的比值决定。