[论文解读] Data-Driven Identification of Quadratic Representations for Nonlinear Hamiltonian Systems using Weakly Symplectic Liftings

Süleyman Yıldız, Pawan Goyal+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2023

Model Reduction and Neural NetworksPhysics and Astronomy被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种数据驱动框架，通过使用弱对称性自编码器提升状态空间，以识别非线性动力系统的二次哈密顿系统。该方法实现了结构保持、低复杂度建模，并具备长期稳定性，通过在变换坐标中学习到的三次哈密顿函数，在低维和高维系统中均实现了精确的动力学模拟。

ABSTRACT

This repository contains the Python implementation using the PyTorch framework to learn Quadratic Hamiltonian systems.

研究动机与目标

• 开发一种无需原始方程知识的数据驱动方法，从轨迹数据中识别二次哈密顿系统。
• 在提升的坐标系中强制实施哈密顿结构，同时通过三次哈密顿函数形式最小化模型复杂度。
• 通过学习保持辛结构的低维潜在动力学，实现对高维哈密顿系统的降维。
• 通过结构保持学习确保在未见初始条件下的长期稳定性和准确外推。
• 结合弱强制辛变换与强强制哈密顿动力学，实现非侵入式、非线性模型降阶。

提出的方法

• 使用基于神经网络的自编码器将原始状态空间提升到更高维的坐标系，使动力学变为二次型。
• 通过损失函数中的正则化项弱强制变换的辛结构，确保映射近似保持辛形式。
• 在提升空间中学习一个三次哈密顿函数，该函数产生二次动力学，从而实现低复杂度建模。
• 采用带有跳跃连接和SELU激活函数的深度神经网络架构，以提高训练稳定性和重建精度。
• 端到端训练自编码器，复合损失函数包含重建误差、辛结构正则化以及通过哈密顿结构强制实现的动力学一致性。
• 对于高维数据，应用相同框架学习低维潜在空间，实现高效、结构保持的模型降阶。

Figure 3.1 : The auto-encoder structure of the symplectic lifting method. Here, the encoder $\psi:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}^{2N}$ is weakly enforced to be a symplectic mapping and the quadratic system is enforced to be Hamiltonian.

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性哈密顿系统能否在提升的坐标空间中有效表示为二次系统？
• RQ2 如何在数据驱动的自编码器中弱强制辛结构，以保持动力学的几何特性？
• RQ3 在提升空间中的三次哈密顿函数能否产生低复杂度、稳定的二次动力系统？
• RQ4 该框架在多大程度上能够实现从未见初始条件外推轨迹的长期准确预测？
• RQ5 该方法在高维哈密顿系统中效果如何，特别是在降低维度的同时保持结构方面？

主要发现

• 该方法成功从数据中学习到二次哈密顿动力学，在训练时间范围之外的外推中实现了长期稳定性。
• 对于低维系统，该框架识别出一个4维的提升空间，其中动力学为二次型，哈密顿函数为三次型，从而确保了低模型复杂度。
• 在高维系统（如非线性薛定谔方程和波动方程）中，该方法学习到一个2或4维的潜在空间，保持了哈密顿结构，并实现了准确的动力学预测。
• 弱对称性自编码器在重建、辛结构和动力学一致性损失上实现了平衡的减少，超参数通过实验调优。
• 该模型在未见初始条件上泛化良好，展示了在相似数据分布下轨迹预测的鲁棒性。
• 该方法通过直接从数据中学习潜在动力学，无需访问原始系统方程，实现了非侵入式、结构保持的模型降阶。

Figure 4.1 : The auto-encoder structure of the symplectic reduction method. Here, the decoder $\phi:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}^{2N}$ is weakly enforced to be a symplectic mapping and the quadratic system is enforced to be Hamiltonian.