[论文解读] Data-driven MPC with stability guarantees using extended dynamic mode decomposition

Lea Bold, Lars Grüne+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

本文在Koopman框架下，通过扩展动态模态分解（eDMD）实现数据驱动模型预测控制（MPC）的实际渐近稳定性。通过推导随系统趋近平衡点而消失的状态相关误差界，并利用原系统的代价可控制性，作者证明了基于eDMD的MPC可确保原点的实际渐近稳定性，且在van der Pol振子和摆系统等非线性系统上通过仿真得到验证。

ABSTRACT

For nonlinear (control) systems, extended dynamic mode decomposition (EDMD) is a popular method to obtain data-driven surrogate models. Its theoretical foundation is the Koopman framework, in which one propagates observable functions of the state to obtain a linear representation in an infinite-dimensional space. In this work, we prove practical asymptotic stability of a (controlled) equilibrium for EDMD-based model predictive control, in which the optimization step is conducted using the data-based surrogate model. To this end, we derive novel bounds on the estimation error that are proportional to the norm of state and control. This enables us to show that, if the underlying system is cost controllable, this stabilizablility property is preserved. We conduct numerical simulations illustrating the proven practical asymptotic stability.

研究动机与目标

• 建立基于eDMD代理模型的数据驱动MPC的实际渐近稳定性理论保证。
• 解决现有eDMD-MPC方法中提升空间优化与原始状态空间动力学之间的一致性缺失问题。
• 表明eDMD代理模型的误差随着系统状态趋近平衡点而减小。
• 证明原系统在二次阶段代价下的代价可控制性可保留在数据驱动代理模型中。
• 通过非线性控制仿射系统上的数值仿真验证理论结果。

提出的方法

• 利用Koopman框架将非线性控制仿射系统提升至无穷维线性空间，从而通过eDMD实现线性逼近。
• 采用双线性eDMD代理模型，利用有限可观测量函数字典近似Koopman算子。
• 推导随提升状态趋近原点而收敛至零的状态相关误差界，替代统一误差界。
• 应用基于原系统代价可控制性的松弛李雅普诺夫不等式条件，建立实际渐近稳定性。
• 基于龙格-库塔积分构建数值近似框架，生成训练数据并仿真闭环动力学。
• 采用标准MPC优化方法，基于eDMD代理模型进行，包含状态与控制变量约束，并与名义MPC结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 当代理模型误差依赖于与平衡点的距离时，能否保证基于eDMD的MPC的实际渐近稳定性？
• RQ2 原非线性系统的代价可控制性是否意味着在二次阶段代价下，基于eDMD的代理模型也具有代价可控制性？
• RQ3 eDMD代理模型的近似误差如何影响闭环系统的收敛行为？
• RQ4 所提出的误差界框架是否可在不依赖与状态无关的统一误差界的前提下确保稳定性？
• RQ5 eDMD代理模型的质量在多大程度上限制了闭环MPC仿真中可实现的收敛精度？

主要发现

• eDMD代理模型中的误差界在提升状态趋近原点时消失，从而可在平衡点附近实现更紧密的稳定性分析。
• 对于van der Pol振子和简单摆系统，基于eDMD的MPC均实现了实际渐近稳定性，收敛停滞在约$10^{-8}$，表明其受近似质量限制。
• 最优值函数$V_N^{ ext{eDMD}}$仅在原点邻域之外递减，确认了实际渐近稳定性而非全局渐近稳定性。
• 名义MPC表现出值函数严格单调递减，而基于eDMD的MPC仅呈现实际渐近稳定性，与理论预测一致。
• 在二次阶段代价下，原系统的代价可控制性在eDMD代理模型中得以保持，从而支持稳定性保证。
• 增加预测时域$N$可提高收敛速度，但无法降低最终收敛范数，表明瓶颈在于近似误差而非时域长度。