[论文解读] Data-driven peakon and periodic peakon travelling wave solutions of some nonlinear dispersive equations via deep learning

Li Wang, Zhenya Yan|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 37被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种物理信息神经网络（PINN）框架，用于发现非线性色散方程（如Camassa-Holm、Degasperis-Procesi和Novikov方程）中的数据驱动型峰状孤波（peakon）和周期性峰状孤波解。通过在初始条件和边界条件下训练深度神经网络并最小化损失函数，该方法实现了对峰状孤波解的高精度近似，L2误差低至1.96e-02，证明了PINN在捕捉不连续波动力学方面的有效性。

ABSTRACT

In the field of mathematical physics, there exist many physically interesting nonlinear dispersive equations with peakon solutions, which are solitary waves with discontinuous first-order derivative at the wave peak. In this paper, we apply the multi-layer physics-informed neural networks (PINNs) deep learning to successfully study the data-driven peakon and periodic peakon solutions of some well-known nonlinear dispersion equations with initial-boundary value conditions such as the Camassa-Holm (CH) equation, Degasperis-Procesi equation, modified CH equation with cubic nonlinearity, Novikov equation with cubic nonlinearity, mCH-Novikov equation, b-family equation with quartic nonlinearity, generalized modified CH equation with quintic nonlinearity, and etc. These results will be useful to further study the peakon solutions and corresponding experimental design of nonlinear dispersive equations.

研究动机与目标

• 开发一种深度学习框架，用于发现具有复杂非线性的非线性色散方程中的峰状孤波和周期性峰状孤波解。
• 解决利用数据驱动方法建模具有不连续导数的孤立波的挑战。
• 将物理信息神经网络（PINNs）应用于峰状孤波方程的初边值问题，确保满足PDE约束。
• 通过与数值解和精确解对比，验证PINN预测解的准确性，针对CH、DP和Novikov等基准方程进行验证。

提出的方法

• 该研究采用多层物理信息神经网络（PINNs）求解形如(1−∂x²)ut + N(u,ux,uxx,...) = 0的非线性色散方程的初边值问题。
• PINN损失函数结合了初始点、边界点和内点的拟合度与PDE在整个时空域上的残差最小化。
• 使用伪谱方法生成高保真的训练数据，通过傅里叶模态和时间推进模拟定义域内的解。
• 网络架构采用5–6层隐藏层，每层10–20个神经元，激活函数为双曲正切函数，以模拟复杂的波动力学。
• 训练过程通过最小化1000个内点、10个初始点、10个边界点和10个终点的均方误差（MSE）损失，确保解的一致性。
• 该方法被应用于多个方程，包括具有不同非线性和边界条件的Degasperis-Procesi（DP）、Camassa-Holm（CH）、Novikov和mCH-Novikov方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 物理信息神经网络能否准确恢复非线性色散方程中具有不连续导数的峰状孤波解？
• RQ2 在周期性边界条件和复杂非线性项下，PINNs对周期性峰状孤波解的逼近效果如何？
• RQ3 与数值解和精确解相比，PINN预测解在基准峰状孤波方程（如DP和CH）中的准确性如何？
• RQ4 网络深度、宽度和训练数据分布等超参数如何影响解的收敛性和误差？
• RQ5 PINNs能否在b族方程和广义mCH方程的不同非线性形式和参数范围内实现泛化？

主要发现

• 该PINN框架成功恢复了Degasperis-Procesi方程的亮峰状孤波解，与数值解相比的L2误差为2.74e-02。
• 对于DP方程中c = -1.05的暗峰状孤波解，学习解与数值解之间的L2误差为3.29e-02。
• 该方法准确捕捉了DP方程的周期性峰状孤波解，采用6层PINN和512个傅里叶模态时，L2误差达到1.96e-02。
• PINN模型在不同初始条件和时空域（包括DP方程的[-5,5]×[0,3]和[-7,7]×[0,3]）下表现出鲁棒性。
• 该框架成功扩展至多个峰状孤波方程，包括具有三次及更高阶非线性的广义mCH-Novikov方程和b族方程。
• 结果证实，PINN能够以高精度和一致性有效建模非线性色散PDE中的复杂非光滑波解。