[论文解读] Data-driven Prediction of General Hamiltonian Dynamics via Learning Exactly-Symplectic Maps

Renyi Chen, Molei Tao|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 46被引用 19

一句话总结

该论文提出GFNN，一种数据驱动方法，通过神经网络参数化生成函数来学习精确的辛映射，确保几何结构的保持。与基于向量场的方法不同，GFNN直接建模演化映射，实现线性全局误差增长而非指数级累积，从而在可积和混沌的哈密顿系统中均表现出更优的精度。

ABSTRACT

We consider the learning and prediction of nonlinear time series generated by a latent symplectic map. A special case is (not necessarily separable) Hamiltonian systems, whose solution flows give such symplectic maps. For this special case, both generic approaches based on learning the vector field of the latent ODE and specialized approaches based on learning the Hamiltonian that generates the vector field exist. Our method, however, is different as it does not rely on the vector field nor assume its existence; instead, it directly learns the symplectic evolution map in discrete time. Moreover, we do so by representing the symplectic map via a generating function, which we approximate by a neural network (hence the name GFNN). This way, our approximation of the evolution map is always \emph{exactly} symplectic. This additional geometric structure allows the local prediction error at each step to accumulate in a controlled fashion, and we will prove, under reasonable assumptions, that the global prediction error grows at most \emph{linearly} with long prediction time, which significantly improves an otherwise exponential growth. In addition, as a map-based and thus purely data-driven method, GFNN avoids two additional sources of inaccuracies common in vector-field based approaches, namely the error in approximating the vector field by finite difference of the data, and the error in numerical integration of the vector field for making predictions. Numerical experiments further demonstrate our claims.

研究动机与目标

• 开发一种用于预测由辛映射生成的非线性时间序列的数据驱动方法，特别是哈密顿系统。
• 克服基于向量场的学习方法的局限性，这些方法受有限差分近似误差和数值积分误差的影响。
• 在不依赖底层哈密顿量或常微分方程存在性或形式的前提下，确保学习到的映射具有精确辛性。
• 通过几何结构保持控制误差累积，实现长期预测精度。
• 将适用范围扩展至离散时间系统（如标准映射），在这些系统中不存在连续哈密顿动力学。

提出的方法

• 使用生成函数表示辛演化映射，其与辛映射之间存在一一对应关系。
• 利用神经网络（GFNN）近似生成函数，通过构造确保所得映射为精确辛映射。
• 在离散时间序列数据上训练GFNN，以学习将初始条件向前推进时间的映射。
• 利用生成函数形式在无需数值积分或向量场估计的情况下强制实现辛性。
• 利用辛映射的几何结构控制局部误差累积，从而实现线性全局误差增长。
• 将该方法应用于连续时间哈密顿系统（如PCR3BP）和离散时间系统（如标准映射），证明其在不同系统中的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 纯数据驱动的方法是否能在不假设底层常微分方程或哈密顿量的前提下学习辛演化映射？
• RQ2 通过生成函数强制实现精确辛性，与基于向量场的方法相比，对长期预测精度有何影响？
• RQ3 在现有方法失效的非可分和混沌哈密顿系统中，GFNN能否保持精度？
• RQ4 在不存在连续动力学的离散时间系统（如标准映射）中，该方法表现如何？
• RQ5 几何结构保持对长期预测时间跨度上的误差累积有何影响？

主要发现

• GFNN在长时间预测范围内实现线性全局预测误差增长，而基于向量场的方法通常呈现指数级误差增长。
• 在非可分的PCR3BP系统中，GFNN优于SOTA方法（包括经过修改以保持辛性的SRNN）。
• 在混沌标准映射中，GFNN是唯一能够捕捉主要规则岛及岛间准周期跃迁的模型，而其他方法无法再现混沌或周期性结构。
• GFNN精确保持辛性，避免了基于向量场模型（如VFNN和HNN）中常见的误差累积和结构失真。
• 该方法成功预测了可积和混沌 regimes 中的轨迹，包括不存在底层连续哈密顿动力学的系统。
• 通过KL散度的定量比较显示，GFNN预测的经验分布与真实动力学高度吻合，尤其在相空间结构和轨道拓扑方面。