[论文解读] Data-driven representations of conical, convex, and affine behaviors

Alberto Padoan, Florian Dörfler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Gene Regulatory Network Analysis被引用 1

一句话总结

本文通过行为系统理论，引入了离散时间系统中圆锥型、凸型和仿射型行为的数据驱动表示。研究证明，闭合、移位不变、圆锥型、凸型和仿射型模型具有交集性质，从而可基于无限时域数据构建最强大未被证伪模型。核心贡献是通过非负秩条件表达的有限时域模型表示的必要充分条件，该条件将Willems的基本引理推广至非线性、非子空间行为。

ABSTRACT

The paper studies conical, convex, and affine models in the framework of behavioral systems theory. We investigate basic properties of such behaviors and address the problem of constructing models from measured data. We prove that closed, shift-invariant, conical, convex, and affine models have the intersection property, thereby enabling the definition of most powerful unfalsified models based on infinite-horizon measurements. We then provide necessary and sufficient conditions for representing conical, convex, and affine finite-horizon behaviors using raw data matrices, expressing persistence of excitation requirements in terms of non-negative rank conditions. The applicability of our results is demonstrated by a numerical example arising in population ecology.

研究动机与目标

• 将行为系统理论从线性时不变（LTI）系统扩展至圆锥型、凸型和仿射型行为。
• 解决当潜在系统行为并非子空间而是圆锥、凸集或仿射集时，从实测数据构建模型的挑战。
• 建立数据驱动模型可唯一且稳健识别的条件。
• 通过非负秩条件，将Willems的基本引理推广至非线性、非子空间行为。
• 通过种群生态学案例研究，展示圆锥和凸结构在有限或稀疏数据下实现模型构建的实际效用。

提出的方法

• 将圆锥型、凸型和仿射型行为定义为在非负标量乘法、凸组合和仿射组合下封闭的信号轨迹子集。
• 证明闭合、移位不变、圆锥型、凸型和仿射型行为满足交集性质，从而可基于无限时域数据定义最强大未被证伪模型（MPUM）。
• 利用实测数据构建的Hankel矩阵构造有限时域模型，行为表示为Hankel矩阵列空间的凸锥。
• 推导出基于Hankel矩阵非负秩条件的模型表示的必要充分条件，将LTI系统中的激励持续性要求推广。
• 利用Haar引理和极锥对偶性，将数据矩阵的秩与潜在系统的结构特性关联。
• 将该框架应用于种群生态学中的正线性状态空间系统，展示圆锥结构如何简化数据驱动建模。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过行为系统理论，从实测数据系统地建模圆锥型、凸型和仿射型行为？
• RQ2 在何种条件下，有限时域数据集可唯一识别圆锥型、凸型或仿射型行为？
• RQ3 如何将LTI系统之外的激励持续性条件推广至非子空间行为？
• RQ4 Hankel矩阵的非负秩在确保圆锥型和凸型模型表示的数据信息性方面起什么作用？
• RQ5 在实际中，对圆锥性或凸性的先验知识如何改善数据驱动模型构建？

主要发现

• 闭合、移位不变、圆锥型、凸型和仿射型行为具有交集性质，从而可基于无限时域数据唯一定义最强大未被证伪模型。
• 对于有限时域行为，当且仅当Hankel矩阵的非负秩等于系统阶数加输入数时，模型可表示为由数据构造的Hankel矩阵的凸锥。
• 圆锥型和凸型模型的激励持续性条件通过数据矩阵的非负秩条件表达，推广了Willems的基本引理。
• 当非负秩条件满足时，输入-状态数据矩阵中存在满秩单项式子矩阵是模型可恢复的必要充分条件。
• 理论框架使正线性系统的稳健数据驱动建模成为可能，种群生态学案例研究显示，圆锥结构显著提升了模型可辨识性。
• 所提方法通过利用圆锥和凸集的全局结构，可在稀疏或有限数据下构建模型，从而减少对大量激励信号的需求。