[论文解读] Data-Driven Sensitivity Indices for Models With Dependent Inputs Using the Polynomial Chaos Expansion

Zhanlin Liu, Youngjun Choe|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用 4

一句话总结

本文提出了一种数据驱动方法，用于在无需事先了解输入依赖结构的情况下，利用多项式混沌展开（PCE）计算具有依赖输入的模型中的基于方差的敏感性指标。通过将改进的Gram-Schmidt算法应用于经验数据，该方法构建正交多项式，并推导出可解释的敏感性指标，以量化依赖输入对输出方差的贡献。

ABSTRACT

Uncertainties exist in both physics-based and data-driven models. Variance-based sensitivity analysis characterizes how the variance of a model output is propagated from the model inputs. The Sobol index is one of the most widely used sensitivity indices for models with independent inputs. For models with dependent inputs, different approaches have been explored to obtain sensitivity indices in the literature. Typical approaches are based on procedures of transforming the dependent inputs into independent inputs. However, such transformation requires additional information about the inputs, such as the dependency structure or the conditional probability density functions. In this paper, data-driven sensitivity indices are proposed for models with dependent inputs. We first construct ordered partitions of linearly independent polynomials of the inputs. The modified Gram-Schmidt algorithm is then applied to the ordered partitions to generate orthogonal polynomials with respect to the empirical measure based on observed data of model inputs and outputs. Using the polynomial chaos expansion with the orthogonal polynomials, we obtain the proposed data-driven sensitivity indices. The sensitivity indices provide intuitive interpretations of how the dependent inputs affect the variance of the output without a priori knowledge on the dependence structure of the inputs. Three numerical examples are used to validate the proposed approach.

研究动机与目标

• 解决在传统Sobol指标无法直接适用的依赖输入模型中进行基于方差的敏感性分析的挑战。
• 克服现有方法依赖于输入依赖结构假设或条件概率密度函数的局限性。
• 开发一种数据驱动框架，利用观测到的输入-输出数据估计敏感性指标，而无需事先了解输入依赖关系。
• 通过从经验测度导出的正交多项式展开，实现对输入对输出方差贡献的直观解释。
• 引入基于条件顺序的敏感性指标，以分层方式解释依赖输入对输出变异性的贡献。

提出的方法

• 从输入数据中构建线性无关多项式的有序划分，以形成多项式混沌展开的基。
• 应用改进的Gram-Schmidt算法，对基于观测输入-输出数据经验测度的多项式基进行正交化。
• 利用所得正交多项式构建多项式混沌展开（PCE）模型，以近似模型响应。
• 从PCE系数推导出数据驱动的敏感性指标，实现输出不确定性基于方差的分解。
• 引入基于条件顺序的敏感性指标，以提供对输入贡献到输出方差的分层解释。
• 通过数值示例验证该方法在估计敏感性指标时的准确性与鲁棒性，且无需假设输入依赖结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当无法获得输入依赖结构的先验知识时，如何可靠地计算具有依赖输入的模型的基于方差的敏感性指标？
• RQ2 基于数据驱动的PCE方法是否能够在不将依赖输入转换为独立输入的前提下，生成可解释且准确的敏感性指标？
• RQ3 与标准PCE方法相比，改进的Gram-Schmidt算法在从经验数据构建正交多项式时，如何提升数值稳定性？
• RQ4 在不采用其限制性假设的前提下，该方法在多大程度上能够估计出与基于变换的方法相当的敏感性指标？
• RQ5 所提出的基于条件顺序的敏感性指标在多大程度上增强了对具有依赖输入的模型中输入贡献可解释性？

主要发现

• 所提出的方法仅利用观测到的输入-输出数据，成功计算出具有依赖输入模型的可解释敏感性指标，且无需了解输入依赖结构。
• 改进的Gram-Schmidt算法在从经验数据构建正交多项式时增强了数值稳定性，其鲁棒性优于标准PCE方法。
• 该方法估计的敏感性指标与基于变换的方法（如[16]、[17]）相当，且无需对条件密度或输入分布作任何假设。
• 在示例3中，解析解与数据驱动的敏感性指标在乘积项$X_1X_2$、$X_3X_4$和$X_5X_6$上表现出高度一致，验证了该方法的准确性。
• 在示例4中，数据驱动PCE模型导出的敏感性指标与基于响应面模型获得的参考值高度吻合，表明该方法在复杂依赖结构下仍具有鲁棒性。
• 基于条件顺序的敏感性指标提供了输出方差的分层分解，使依赖输入组对不确定性的贡献更加清晰可解释。