[论文解读] Data-driven stabilization of nonlinear polynomial systems with noisy data

Meichen Guo, Claudio De Persis+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

Control Systems and Identification参考文献 25被引用 16

一句话总结

本文提出一种数据驱动方法，利用带有噪声的输入-状态数据对连续时间非线性多项式系统进行稳定化，无需事先进行系统辨识。通过将稳定性条件表述为依赖于数据的平方和（SOS）规划问题，该方法可直接计算出稳定的状态反馈控制器和李雅普诺夫函数，即使在未知噪声具有二次有界性的情况下亦可实现，借助矩阵值不等式和SOS优化实现可计算的求解。

ABSTRACT

In a recent paper we have shown how to learn controllers for unknown linear systems using finite-sized noisy data by solving linear matrix inequalities. In this note we extend this approach to deal with unknown nonlinear polynomial systems by formulating stability certificates in the form of data-dependent sum of squares programs, whose solution directly provides a stabilizing controller and a Lyapunov function. We then derive variations of this result that lead to more advantageous controller designs. The results also reveal connections to the problem of designing a controller starting from a least-square estimate of the polynomial system.

研究动机与目标

• 解决仅使用有限、带有噪声的输入-状态数据来稳定未知非线性多项式系统的问题。
• 将直接数据驱动控制从线性系统扩展到非线性多项式系统，克服以往基于模型或对噪声不敏感方法的局限性。
• 提供基于平方和（SOS）优化和依赖于数据的李雅普诺夫函数的全局稳定化计算可处理条件。
• 处理状态相关的输入向量场和具有二次约束的未知噪声，优于以往的无噪声或线性化结果。
• 通过重新表述闭环表示并利用SOS规划实现可变阶控制器设计，提升计算效率。

提出的方法

• 构建一种基于数据的闭环表示，利用有限噪声数据参数化系统动态，将Willems的基本引理推广至非线性多项式系统。
• 引入一种改进的闭环表示以处理状态相关的输入向量场，并通过二次约束引入噪声。
• 应用矩阵值Young不等式及S-引理的一种变体，推导出依赖于数据的平方和（SOS）规划，以验证稳定性。
• 通过求解包含控制器增益和李雅普诺夫矩阵决策变量的SOS规划，同时构造李雅普诺夫函数和状态反馈控制器。
• 利用SOSTOOLS数值求解SOS规划，获得显式的控制器增益和稳定性证书。
• 探索替代参数化方式（例如，允许控制器增益作为固定阶数的决策变量），以提升计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用带有噪声的输入-状态数据，将直接数据驱动控制从线性系统扩展到非线性多项式系统？
• RQ2 在仅提供二次有界性约束而无具体统计形式假设的前提下，如何处理数据中的噪声？
• RQ3 能否在不进行系统辨识的前提下，仅从数据中同时计算出稳定控制器和对应的李雅普诺夫函数？
• RQ4 在数据驱动设计中，不同闭环系统参数化方式之间的计算权衡是什么？
• RQ5 基于数据的闭环表示选择如何影响所设计控制器的性能与效率？

主要发现

• 所提方法成功仅使用有限、带有噪声的输入-状态数据，计算出非线性多项式系统的稳定状态反馈控制器和李雅普诺夫函数。
• 通过定理1设计的控制器在146.6秒内完成计算，控制器增益形式为 $ u = -x_1(9.2x_1^2 + 2.2x_1x_2 + x_1 + 8.1x_2^2 + 0.24x_2 + 9.7) - x_2(38x_1^2 + 6.1x_1x_2 + 5.5x_1 + 33x_2^2 + 2.3x_2 + 29) $。
• 定理2设计的控制器耗时151.3秒，获得不同的增益，表明对参数化方式敏感，其形式为 $ u = -x_1(3.7\times10^{-4}x_1^2 + 5.1\times10^{-5}x_1x_2 - 0.021x_1 + 2.2\times10^{-4}x_2^2 - 0.092x_2 + 0.94) - x_2(-1\times10^{-4}x_1^2 - 5.3\times10^{-3}x_1x_2 - 3.1\times10^{-3}x_1 + 5.5\times10^{-4}x_2^2 - 0.064x_2 + 1.2) $。
• 最高效的方案是使用推论1，将二阶控制器作为决策变量，仅耗时10.7秒，得到的控制器形式为 $ u = -x_1(1.9\times10^{-4}x_1^2 - 8.9\times10^{-5}x_1x_2 - 0.026x_1 + 4.2\times10^{-4}x_2^2 - 0.091x_2 + 1.5) - x_2(4.8\times10^{-5}x_1^2 - 1.1\times10^{-4}x_1x_2 - 3.6\times10^{-3}x_1 - 2.4\times10^{-4}x_2^2 - 0.072x_2 + 1.4) $。
• 相图验证了在所有三种控制器设计下，系统在原点处均呈现全局渐近稳定，且瞬态响应各异。
• 结果表明，数据参数化方式的选择显著影响计算效率，其中推论1相比定理1和定理2实现了显著提速。