[论文解读] Data-Driven Stabilizing and Robust Control of Discrete-Time Linear Systems with Error in Variables

Jared Miller, Tianyu Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2022

Advanced Control Systems Optimization被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于平方和（SOS）的框架，用于离散时间线性系统在L-infinity有界过程噪声、测量噪声和输入噪声下的数据驱动稳定化与鲁棒H2控制。通过将所有可能的系统的一致性集合表述为多项式优化问题，并应用对偶定理消除噪声变量，该方法可通过连续的SOS松弛实现对超稳定、二次稳定或正稳定控制器的收敛，同时在最坏情况H2性能下保证鲁棒性并提升计算效率。

ABSTRACT

This work presents a sum-of-squares (SOS) based framework to perform data-driven stabilization and robust control tasks on discrete-time linear systems where the full-state observations are corrupted by L-infinity bounded input, measurement, and process noise (error in variable setting). Certificates of state-feedback superstability, quadratic stability or positive stability of all plants in a consistency set are provided by solving a feasibility program formed by polynomial nonnegativity constraints. Under mild compactness and data-collection assumptions, SOS tightenings in rising degree will converge to recover the true superstabilizing or positive stabilizing controller, with some conservatism introduced for quadratic stabilizability. The performance of this SOS method is improved through the application of a theorem of alternatives while retaining tightness, in which the unknown noise variables are eliminated from the consistency set description. This SOS feasibility method is extended to provide worst-case-optimal robust controllers under H2 control costs. The consistency set description may be broadened to include cases where the data and process are affected by a combination of L-infinity bounded measurement, process, and input noise.

研究动机与目标

• 解决在全状态观测受L-infinity有界过程噪声、测量噪声和输入噪声污染时，离散时间线性系统的稳定化挑战。
• 将数据驱动控制表述为在与噪声数据兼容的所有系统的一致性集合上的多项式优化问题（POP）。
• 开发一种基于SOS松弛的框架，随着多项式次数的增加，该框架可收敛至真实的超稳定或正稳定控制器。
• 通过应用对偶定理消除一致性集合描述中的未知噪声变量，提升计算可处理性。
• 通过在所有一致系统上最小化最坏情况H2-范数，将框架扩展至最坏情况H2最优鲁棒控制。

提出的方法

• 将系统建模为具有L-infinity有界过程噪声 $w_t$、测量噪声 $\Delta x_t$ 和输入噪声 $\Delta u_t$ 的离散时间线性系统，利用观测数据 $\mathcal{D} = \{\hat{u}_t, \hat{x}_t\}_{t=1}^T$。
• 将所有可能系统 $(A,B)$ 的一致性集合表述为包含未知噪声变量的双线性不等式系统，进而转化为多项式优化问题（POP）。
• 应用平方和（SOS）松弛，通过一系列凸半定规划（SDP）近似POP，确保随着多项式次数的增加，收敛至真实稳定控制器。
• 利用基于鲁棒半定规划的对偶定理，从约束中消除噪声变量 $\Delta x_t, \Delta u_t, w_t$，在保持超稳定性和正稳定性紧致性的同时降低问题复杂度。
• 通过多项式非负性约束构造基于SOS的证书，用于状态反馈超稳定性、二次稳定性和正稳定性，采用Psatz和乘子变量显式表述。
• 通过在一致性集合上构建最坏情况H2-范数最小化问题，将框架扩展至H2鲁棒控制，通过基于SOS的SDP松弛求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种数据驱动控制器，以稳定所有与噪声输入-状态数据一致的系统，且在L-infinity有界过程噪声、测量噪声和输入噪声下保持稳定？
• RQ2 如何消除一致性集合中未知噪声变量引起的双线性依赖关系，以提升计算可处理性？
• RQ3 随着多项式次数的增加，SOS松弛在多大程度上收敛至真实的超稳定或正稳定控制器？
• RQ4 该框架能否扩展至在一致性集合上最坏情况性能下提供H2最优鲁棒控制器？
• RQ5 在误差变量模型下，使用对偶定理对保守性和计算复杂度有何影响？

主要发现

• 在适度的紧致性和数据采集假设下，SOS可行性程序在多项式次数增加时，可收敛至真实的超稳定或正稳定控制器。
• 应用对偶定理可从一致性集合描述中消除未知噪声变量，降低计算复杂度，同时保持对超稳定性和正稳定性的紧致性。
• 对于二次可稳定化，由于松弛引入了部分保守性，但随着多项式次数增加，仍能保证收敛至稳定控制器。
• 该框架可通过在所有数据一致系统上最小化最坏情况H2-范数，实现最坏情况H2最优鲁棒控制，所得控制器通过基于SOS的SDP松弛获得。
• 该方法可扩展至切换系统，利用带标签数据和去噪的一致性集合，可设计单一控制器以超稳定所有子系统。
• 通过利用多项式约束中的稀疏团结构，计算成本得以降低，尤其在使用对偶定理时，可减少SDP约束的数量和规模。