[论文解读] Data-driven system analysis of nonlinear systems using polynomial approximation

Tim Martin, Frank Allgöwer|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2021

Control Systems and Identification被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种数据驱动框架，通过泰勒多项式（TP）逼近结合来自噪声测量的集合成员不确定性边界，用于分析非线性系统。通过利用泰勒定理将多项式扇区边界与TP的椭球外逼近相结合，该方法使凸的平方和（SOS）优化成为可能，从而严格验证耗散性与增量耗散性，并提供保证的误差边界。通过分段多项式逼近，显著降低了保守性。

ABSTRACT

In the context of data-driven control of nonlinear systems, many approaches lack of rigorous guarantees, call for nonconvex optimization, or require knowledge of a function basis containing the system dynamics. To tackle these drawbacks, we establish a polynomial representation of nonlinear functions based on a polynomial sector by Taylor's theorem and a set-membership for Taylor polynomials. The latter is obtained from finite noisy samples. By incorporating the measurement noise, the error of polynomial approximation, and potentially given prior knowledge on the structure of the system dynamics, we achieve computationally tractable conditions by sum of squares relaxation to verify dissipativity and incremental dissipativity of nonlinear dynamical systems with rigorous guarantees. The framework is extended by combining multiple Taylor polynomial approximations which yields a less conservative piecewise polynomial system representation. The proposed approach is applied for numerical and experimental examples. There it is compared to a least-squares-error model including knowledge from first principle.

研究动机与目标

• 为解决数据驱动非线性系统控制中缺乏严格保证的问题，特别是当依赖非凸优化或未知函数基时。
• 开发一种计算上可处理的框架，仅使用噪声输入-状态-速度数据，验证非线性系统中的耗散性与增量耗散性。
• 通过结合多个局部泰勒多项式逼近与先验结构知识，降低数据驱动系统分析中的保守性。
• 通过将测量噪声与先验知识整合到凸优化框架中，实现数据驱动系统分析的实际应用。
• 提供一种严格且可扩展的替代方案，以替代需要大量数据集或在平衡点附近存在邻域排除问题的非参数方法。

提出的方法

• 利用泰勒定理及对(k+1)阶偏导数的边界，从噪声数据中估计，推导出非线性函数的多项式扇区边界。
• 通过噪声样本的椭球外逼近，构建泰勒多项式逼近的集合成员包络，确保真实函数位于此包络之内。
• 将关于系统结构的先验知识（如稀疏性、对称性或已知系数）整合到包络中，以减少保守性。
• 在状态空间区域划分的基础上，将多个局部泰勒多项式逼近组合，形成分段多项式表示，提高精度并降低保守性。
• 将耗散性验证问题表述为平方和（SOS）优化问题，通过半定规划实现凸且计算上可处理的求解。
• 在分段区域中使用统一的存储函数，以确保在整个工作集上全局耗散性性质成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用噪声测量，构建非参数化的非线性函数数据驱动表示，并提供严格的误差边界？
• RQ2 在数据驱动系统分析中，如何降低单点泰勒多项式逼近的保守性？
• RQ3 关于系统动力学的先验结构知识在多大程度上能提升数据驱动系统属性验证的准确性？
• RQ4 能否仅使用有限的、噪声的轨迹数据，验证耗散性与增量耗散性，并提供保证的边界？
• RQ5 结合多个局部泰勒多项式逼近如何影响所得耗散性边界的紧致性？

主要发现

• 所提出的方法仅使用噪声输入-状态-速度数据，无需显式模型知识，即可实现对非线性系统耗散性与增量耗散性的严格验证。
• 通过使用五阶泰勒多项式逼近与恒定度量，对两个耦合振子系统的增量L2-增益估计为1.93，与在已知系统参数下的真实值一致。
• 在状态空间区域划分的基础上，结合三个局部泰勒多项式逼近显著降低了保守性，相较于单一全局逼近，提升了数据驱动推断的增量L2-增益精度。
• 整合先验知识（如已知系数及条件c(0,0)=0）进一步优化了包络，增强了分析的准确性。
• 采用多个局部逼近的分段多项式表示，显著改善了增量L2-增益上界的紧致性，该结果在数值与实验示例中均得到验证。
• 该框架通过平方和优化实现凸且可计算的验证，避免了数据驱动控制中常见的非凸或启发式方法。