[论文解读] Data for "Pauli Spectrum and Non-stabilizerness of Typical Quantum Many-Body States"

Xhek Turkeshi, Piotr Sierant+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文引入了泡利谱作为量化典型量子多体态中魔术性（非稳定化性）的工具，表明哈尓随机态、随机电路态以及混沌哈密顿量本征态均表现出具有指数抑制尾部的普适泡利谱。该文提出了滤波稳定化熵以区分典型（高魔术性）态与非典型态，表明典型态在所有Rényi指数下均最大化魔术性。

ABSTRACT

An important question of quantum information is to characterize genuinely quantum (beyond-Clifford) resources necessary for universal quantum computing. Here, we use the Pauli spectrum to quantify how ``magic'', beyond Clifford, typical many-qubit states are. We first present a phenomenological picture of the Pauli spectrum based on quantum typicality and then confirm it for Haar random states. We then introduce filtered stabilizer entropy, a magic measure that can resolve the difference between typical and atypical states. We proceed with the numerical study of the Pauli spectrum of states created by random circuits as well as for eigenstates of chaotic Hamiltonians. We find that in both cases Pauli spectrum approaches the one of Haar random states, up to exponentially suppressed tails. We discuss how the Pauli spectrum changes when ergodicity is broken due to disorder. Our results underscore the difference between typical and atypical states from the point of view of quantum information.

研究动机与目标

• 超越稳定化形式体系，表征典型多体量子态的非稳定化性（魔术性）。
• 开发一种度量方法，以区分典型高魔术性态与非典型低魔术性态（如纯态）。
• 基于量子典型性建立泡利谱的表象性图景。
• 通过哈尓随机态的精确结果及随机电路与混沌哈密顿量本征态的数值模拟验证该图景。
• 引入并验证滤波稳定化熵作为精细魔术性度量，以分辨典型态与非典型态之间的差异。

提出的方法

• 将泡利谱定义为所有泡利字符串 P ∈ 𝒫_N 的期望值 ⟨Ψ|P|Ψ⟩ 的集合，将其视为概率分布 Π(x)。
• 利用量子典型性论证：对于典型态，当 P ≠ I 时，⟨Ψ|P|Ψ⟩ ≈ 0，且波动服从均值为零、方差为常数 b 的均匀分布。
• 推导哈尓随机态的精确泡利谱，表明其在大 N 极限下收敛于半圆分布。
• 引入滤波稳定化熵 M̃_q 作为排除单位算符贡献的修改版Rényi熵，以增强对非稳定化内容的敏感性。
• 对随机电路态及混沌自旋链的中间谱本征态进行广泛的数值模拟，以与理论预测比较。
• 使用蒙特卡洛采样计算稳定化Rényi熵，并验证有限尺寸系统中泡利谱的行为。

Figure 1: (a) Pauli spectrum for the atypical state $|\Theta\rangle$ (where we fix $\theta=2\arctan(\sqrt{2-\sqrt{3}})$ and $\phi=2\arctan(1-\sqrt{2})$ ), a typical (Haar random) state $|\Psi_{\mathrm{Haar}}\rangle$ , and for a stabilizer state $|\Psi_{\mathrm{Stab}}\rangle$ generated by a random Cl

实验结果

研究问题

• RQ1 典型量子多体态的泡利谱行为如何？是否可用量子典型性描述？
• RQ2 随机电路态与混沌哈密顿量本征态在泡利谱上在多大程度上类似于哈尓随机态？
• RQ3 滤波稳定化熵能否有效区分典型态与非典型态（如纯态）？
• RQ4 泡利谱中的结构差异如何揭示系统的底层动力学或可积性？
• RQ5 泡利谱如何与量子多体系统中的遍历性及魔术性相关联？

主要发现

• 哈尓随机态的泡利谱服从半圆分布，且当 q > 2 时，单位算符主导了稳定化Rényi熵。
• 对于典型态，滤波稳定化熵 M̃_q 在所有Rényi指数 q 处达到最大值 1，表明魔术性达到最大。
• 随机电路态及混沌哈密顿量本征态的泡利谱在指数抑制尾部范围内与哈尓随机态不可区分。
• 混沌哈密顿量本征态的泡利谱表现出哈尓随机态中不存在的指数级小尾部，揭示了哈密顿量带来的更丰富结构。
• 滤波稳定化熵成功分辨了典型态与非典型态（如纯态）之间的差异，后者魔术性显著更低。
• 泡利谱相较于仅使用稳定化Rényi熵，提供了对魔术性更精细的表征，能够捕捉算符空间分布的非高斯特征。

Figure 2: Pauli spectra of typical states (red dashed lines, Eq. ( 4 ) and ( 5 )) and the numerical results for: random unitary circuits (a), random orthogonal circuits (b), mid-spectrum eigenstates of chaotic Hamiltonian $H^{\mathrm{sb}}$ without TRI, (c), and with TRI $H$ , (d), see Text. Only the