[论文解读] Data-free Non-intrusive Model Reduction for Nonlinear Finite Element Models via Spectral Submanifolds

Shobhit Jain, Mingwu Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2024

Model Reduction and Neural Networks被引用 11

一句话总结

一种非侵入式算法，用于计算光谱子流形（SSMs）和非线性有限元（FE）系统的降阶模型，阶次最高为立方，兼容通用FE软件，且实现为数据无依赖（STEP实现）。

ABSTRACT

The theory of spectral submanifolds (SSMs) has emerged as a powerful tool for constructing rigorous, low-dimensional reduced-order models (ROMs) of high-dimensional nonlinear mechanical systems. A direct computation of SSMs requires explicit knowledge of nonlinear coefficients in the equations of motion, which limits their applicability to generic finite-element (FE) solvers. Here, we propose a non-intrusive algorithm for the computation of the SSMs and the associated ROMs up to arbitrary polynomial orders. This non-intrusive algorithm only requires system nonlinearity as a black box and hence, enables SSM-based model reduction via generic finite-element software. Our expressions and algorithms are valid for systems with up to cubic-order nonlinearities, including velocity-dependent nonlinear terms, asymmetric damping, and stiffness matrices, and hence work for a large class of mechanics problems. We demonstrate the effectiveness of the proposed non-intrusive approach over a variety of FE examples of increasing complexity, including a micro-resonator FE model containing more than a million degrees of freedom.

研究动机与目标

• 通过光谱子流形（SSMs）为高维FE模型提供并实现严格的非线性ROM。
• 开发一种非侵入式算法，利用黑盒非线性来计算SSMs及其降维动力学。
• 将基于SSM的降维扩展到三阶非线性，包括与速度相关的项以及非对称阻尼/刚度。
• 证明可应用于非常大的FE模型，并兼容通用FE软件（包括商业软件包）。
• 提供开源实现（SSMTool），并用多样化的FE示例进行验证。

提出的方法

• 使用参数化方法构造与所选线性模态的主子空间相切的SSMs。
• 用多指数形式的多项式展开表示SSMs及其降维动力学，并求解不变量方程。
• 将非线性分解为二次和三次部分，并通过STEP非侵入式地将它们与SSM的组合计算。
• 通过降维动力学方程（范式风格）提升奇点来处理近共振。
• 推导时周期性激励的非自治修正，并给出时间独立（TI）和时变（TV）SSM近似。
• 在SSMTool中实现该方法，并通过对F(z)评估的黑箱接口与通用FE求解器耦合。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以对高维非线性FE系统使用非侵入式方法计算基于SSM的降维模型？
• RQ2 在无法访问内部FE系数的情况下，如何将最高至三次的多项式非线性与SSM参数化进行组合？
• RQ3 与侵入式方法相比，非侵入式SSMROM在复杂FE模型上的精度与计算效率如何？
• RQ4 在多大程度上可以在非侵入式SSM降维中容纳速度相关的非线性以及非对称阻尼/刚度？
• RQ5 该方法在大规模FE模型及商业FE软件上的表现如何？

主要发现

• 该非侵入式算法能够为具有三次非线性的FE模型计算任意多项式阶次的SSMs和ROMs。
• 该方法能够容纳速度相关的非线性以及非对称阻尼和刚度矩阵。
• 与通用FE软件（包括COMSOL）耦合是可行的，从而实现数据无依赖的基于SSM的降维。
• 演示包括具有1:2内部共振的浅壳、飞机机翼模型、粘弹性板，以及MEMS陀螺仪FE模型。
• 在一个浅弧示例中，TI-SSM和TV-SSM一致，侵入式与非侵入式FRC在阶量级约O(5)的精度上匹配，且非侵入式内存占用显著更低（8 MB vs 35 MB）。
• 该方法已在开源SSMTool中实现，并在越来越复杂的FE问题上得到验证，包括自由度超过一百万的模型。