[论文解读] Data Reduction for Maximum Matching on Real-World Graphs: Theory and Experiments

Tomohiro Koana, Viatcheslav Korenwein+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 34被引用 9

一句话总结

本文提出了用于现实图中最大基数匹配和最大权匹配的高效、近乎线性时间的数据约简规则，利用参数复杂性中的核化技术。实验表明，应用这些规则可使当前最先进的匹配求解器平均提速4.7倍（无权情况）和12.72倍（有权情况），在保持最优解的同时显著减少真实图上的运行时间。

ABSTRACT

Finding a maximum-cardinality or maximum-weight matching in (edge-weighted) undirected graphs is among the most prominent problems of algorithmic graph theory. For $n$-vertex and $m$-edge graphs, the best known algorithms run in $\widetilde{O}(m\sqrt{n})$ time. We build on recent theoretical work focusing on linear-time data reduction rules for finding maximum-cardinality matchings and complement the theoretical results by presenting and analyzing (thereby employing the kernelization methodology of parameterized complexity analysis) new (near-)linear-time data reduction rules for both the unweighted and the positive-integer-weighted case. Moreover, we experimentally demonstrate that these data reduction rules provide significant speedups of the state-of-the art implementations for computing matchings in real-world graphs: the average speedup factor is 4.7 in the unweighted case and 12.72 in the weighted case.

研究动机与目标

• 开发实用的、近乎线性时间的数据约简规则，以加速现实图中最大匹配的计算。
• 将顶点覆盖问题中的理论核化结果扩展至最大基数匹配和最大权匹配问题。
• 通过实验验证，这些数据约简规则能显著加速现有最先进的求解器。
• 分析规则应用顺序与完全应用对性能和解质量的影响。
• 探索在有权情况下，完全应用规则的准线性时间算法的可行性。

提出的方法

• 适配并分析来自顶点覆盖问题的已知数据约简规则——王冠规则和基于线性规划的规则——用于最大基数匹配。
• 为有权情况设计新的数据约简规则（RR 3.1–3.4），并通过理论分析和引理证明其正确性。
• 实现高效的算法，以近乎线性时间完全应用这些规则，重点关注实际效率。
• 将这些约简规则作为预处理步骤，集成到当前最先进的求解器（如Kolmogorov的Edmonds算法）之前。
• 利用隔离引理作为理论基础，探讨在无权图中通过权重分配打破对称性的可能性。
• 在SNP库提供的真实图上评估性能，比较应用核化前后的时间消耗。

实验结果

研究问题

• RQ1 来自顶点覆盖问题的已知数据约简规则能否被正确且高效地适配到最大基数匹配问题？
• RQ2 在无权情况下，完全应用王冠规则和基于线性规划的约简规则的理论与实际影响是什么？
• RQ3 为有权匹配问题新设计的数据约简规则在实践中有多高效？
• RQ4 能否在近乎线性时间内对无权和有权图完全应用数据约简规则？
• RQ5 核化方法是否在各种真实图实例中一致地提升求解器性能？

主要发现

• 所提出的约简规则在真实图上对无权最大基数匹配实现了平均4.7倍的提速。
• 对于最大权匹配，平均提速达到12.72倍，展现出显著的性能提升。
• 王冠规则和基于线性规划的规则的完全应用产生完全相同的约简图，证明了它们的理论等价性。
• 核化方法消除了原始求解器因运行时间过长而超时的情况。
• Kolmogorov求解器在有权图上的表现更加稳定，表明权重分配可提升无权匹配的性能。
• 有权情况下的数据约简规则实现涉及更高的开销，原因在于全局边遍历，表明需要进一步的算法优化。