[论文解读] Davenport-Heilbronn Theorems for Quotients of Class Groups

Zev Klagsbrun|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文将Davenport-Heilbronn定理推广至二次域理想类群模由固定有理素数集$S$上方的素数生成的子群的商群。通过建立商类群的指数3子群与具有相同判别式的三次域之间的双射，并利用关于满足局部条件的三次域的最新计数结果，作者计算了当$K$沿判别式排序遍历二次域时，$\mathrm{Cl}(K)_S[3]$、放松的3-Selmer群$\mathrm{Sel}_3^S(K)$，以及单位群商$\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$的平均大小。关键结果是：当$S$-素数完全分裂时，这些平均值与Cohen–Lenstra启发式一致。

ABSTRACT

We prove a generalization of the Davenport-Heilbronn theorem to quotients of ideal class groups of quadratic fields by the primes lying above a fixed set of rational primes $S$. Additionally, we obtain average sizes for the relaxed Selmer group $\mathrm{Sel}_3^S(K)$ and for $\mathcal{O}_{K,S}^ imes/(\mathcal{O}_{K,S}^ imes)^3$ as $K$ varies among quadratic fields with a fixed signature ordered by discriminant.

研究动机与目标

• 将Davenport-Heilbronn定理推广至模由固定有限有理素数集$S$生成的子群的二次域类群。
• 计算当所有$S$-素数完全分裂时及一般情况下，虚二次域与实二次域的$\mathrm{Cl}(K)_S[3]$的平均大小。
• 计算当$K$沿判别式排序遍历二次域时，放松的3-Selmer群$\mathrm{Sel}_3^S(K)$与单位群商$\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$的平均大小。
• 在适当的分裂条件下，验证这些平均不变量与Cohen–Lenstra启发式的相容性。

提出的方法

• 建立$\mathrm{Cl}(K)_S$的指数3子群与具有与$K$相同判别式的三次域同构类之间的双射。
• 利用Bhargava、Shankar与Tsimerman（及Taniguchi–Thorne）的最新结果，计数在$S$中素数处满足局部条件的三次域。
• 应用数的几何与类群计数技术，将此类三次域的数量与$\mathrm{Cl}(K)_S[3]$的平均大小联系起来。
• 通过关联它们与$\mathrm{Cl}(K)_S[3]$的短正合列，推导$\mathrm{Sel}_3^S(K)$与$\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$的平均大小。
• 通过将二次域划分为$S_1 \subset S$中的素数分裂而其余不分裂的子集，对分裂行为施加条件，并计算加权平均。
• 使用概率$\rho(S_1)$，即随机二次域具有$S_1$与$S \setminus S_1$中素数指定分裂行为的概率，并结合已知的分裂素数密度结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当所有$S$-素数完全分裂时，虚二次域上$\mathrm{Cl}(K)_S[3]$的平均大小是多少？
• RQ2 当$K$遍历所有$S$-素数完全分裂的实二次域时，$\mathrm{Cl}(K)_S[3]$的平均大小如何变化？
• RQ3 当$K$沿判别式排序遍历所有二次域时，放松的3-Selmer群$\mathrm{Sel}_3^S(K)$与单位群商$\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$的平均大小是多少？
• RQ4 当$S$-素数完全分裂时，这些平均大小是否与Cohen–Lenstra启发式一致？
• RQ5 平均大小$\mathrm{Cl}(K)_S[3]$如何依赖于$S$中素数的分裂行为？

主要发现

• 当所有$S$-素数完全分裂时，虚二次域上$\mathrm{Cl}(K)_S[3]$的平均大小为$1 + 3^{-|S|}$。
• 当所有$S$-素数完全分裂时，实二次域上$\mathrm{Cl}(K)_S[3]$的平均大小为$1 + 3^{-|S|-1}$。
• 实二次域上$\mathrm{Sel}_3^S(K)$的平均大小为$3^{|S|} + 3^{|S|+1} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$。
• 虚二次域上$\mathrm{Sel}_3^S(K)$的平均大小为$3^{|S|} + 3^{|S|} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$。
• 实二次域上$\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$的平均大小为$3^{|S|+1} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$。
• 虚二次域上$\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$的平均大小为$3^{|S|} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$。