[论文解读] David extension of circle homeomorphisms, welding, mating, and removability

Mikhail Lyubich, Sergei Merenkov+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

本文建立了圆自同胚的David扩张定理，用于共轭圆的扩张覆盖映射，允许抛物周期点映射到抛物点，双曲点映射到双曲点或抛物点。关键贡献是使用David自同胚构建统一框架，实现反有理映射与反射群之间的配对，证明Julia集和极限集的共形可移除性，并重新证明Suffridge多项式的存在性。

ABSTRACT

We provide a David extension result for circle homeomorphisms conjugating two dynamical systems such that parabolic periodic points go to parabolic periodic points, but hyperbolic points can go to parabolics as well. We use this result, in particular, to prove the existence of a new class of welding homeomorphisms, to establish an explicit dynamical connection between critically fixed anti-rational maps and kissing reflection groups, to show conformal removability of the Julia sets of geometrically finite polynomials and of the limit sets of necklace reflection groups, to produce matings of anti-polynomials and necklace reflection groups, and to give a new proof of the existence of Suffridge polynomials (extremal points in certain spaces of univalent maps).

研究动机与目标

• 开发一种新的圆自同胚David扩张定理，用于共轭圆的扩张覆盖映射，即使双曲点映射到抛物点也适用。
• 建立一种通用的手术技术，利用David可积性将双曲动力系统转化为抛物系统。
• 证明几何有限多项式Julia集与项链反射群极限集的共形可移除性。
• 通过David焊接与拓扑共轭，构造反多项式与反射群之间的配对。
• 基于极值拟共形映射的David手术框架，提供Suffridge多项式存在性的新证明。

提出的方法

• 基于Chen, Chen, He与Zakeri的结果，使用基于David扩张定理，将共轭扩张覆盖映射的圆自同胚扩展到单位圆盘。
• 应用David可积性定理，确保扩展后的自同胚在广义意义下为拟共形，且具有受控的畸变。
• 利用马尔可夫划分与Böttcher坐标，在圆上的动力系统与反射群极限集边界上的动力系统之间构造拓扑共轭。
• 在无穷远的吸引域上使用共形共轭，并通过局部连通性与原像的稠密性，将其连续延拓至Julia/极限集。
• 利用如下事实：若一个共形可移除集上存在一个共形共轭，且该共轭在集合外部为共形，则该共轭必为Möbius共轭，从而导出仿射共轭。
• 通过分析映射在无穷远处的渐近行为与系数匹配，证明共轭映射为旋转，从而建立所需的共轭关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 若源映射的抛物周期点被映射到目标映射的抛物周期点，且双曲点可映射到抛物点，能否将共轭两个圆扩张覆盖映射的圆自同胚扩展为David自同胚？
• RQ2 此类David扩张是否可用于构造反有理映射的Julia集与反射群极限集之间的焊接自同胚？
• RQ3 几何有限多项式的Julia集与项链反射群的极限集是否共形可移除？
• RQ4 能否通过David自同胚将反多项式与反射群配对，以生成新的动力系统？
• RQ5 能否基于基于极值拟共形映射的David手术框架，重新推导Suffridge多项式的存在性？

主要发现

• 为共轭扩张覆盖映射的圆自同胚建立了一般性的David扩张定理，前提是源映射的抛物周期点必须映射到目标映射的抛物周期点。
• 证明了一类新型焊接自同胚的存在性，通过David扩张将反有理映射的动力与反射群的动力联系起来。
• 利用David扩张框架，证明了几何有限多项式的Julia集与项链反射群的极限集的共形可移除性。
• 建立了反多项式与反射群之间的配对构造，得到的新动力系统在边界处具有拓扑共轭。
• 通过在单值映射空间中将Suffridge多项式视为极值点，利用David手术获得其存在性的新证明。
• 证明了Riemann球面上两个反射群作用的动力系统之间的共轭为仿射映射，意味着共轭映射是单位根的旋转，从而建立了精确的几何对应关系。