[论文解读] David Hilbert and the origin of the "Schwarzschild solution"

S. Antoci|ArXiv.org|Oct 21, 2003

Geophysics and Sensor Technology参考文献 1被引用 32

一句话总结

本文研究了广义相对论中“史瓦西解”的历史与数学起源，揭示大卫·希尔伯特所推导出的时空流形与卡尔·史瓦西原始解并不相同。尽管希尔伯特的版本被广泛采纳，但它存在两个关键缺陷——缺乏一致的时间箭头和一个局部内禀奇点——而这两个问题在史瓦西的原始解中均不存在，后者在物理上更为自洽，尽管因被希尔伯特的表述所掩盖而长期被忽视。

ABSTRACT

The very early dismissal of Schwarzschild's original solution and manifold, and the rise, under Schwarzschild's name, of the inequivalent solution and manifold found instead by Hilbert, are scrutinised and commented upon, in the light of the subsequent occurrences. It is reminded that Hilbert's manifold suffers from two defects, that are absent in Schwarzschild's manifold. It does not admit a consistent drawing of the arrow of time, and it allows for an invariant, local, intrinsic singularity in its interior. The former defect is remedied by the change of topology of the extensions proposed by Synge, Kruskal and Szekeres. The latter persists unaffected in the extensions, since it is of local character.

研究动机与目标

• 澄清为何希尔伯特的时空流形而非史瓦西的原始解被称作“史瓦西解”的历史与数学原因。
• 证明史瓦西的原始解源自爱因斯坦早期的场方程（具有单式协变性），包含两个积分常数，需通过额外假定来确定内边界。
• 表明希尔伯特的解虽在形式上与之数学等价，但因存在不可消除的局部内禀奇点且缺乏一致的时间箭头，故在物理上存在缺陷。
• 主张尽管存在缺陷，希尔伯特流形的广泛采纳却因早期对史瓦西工作的轻视而加速，尤其是菲利普·弗兰克具有影响力的但不完整的综述。

提出的方法

• 分析卡尔·史瓦西1916年发表的《质点》原始论文，重点关注其使用爱因斯坦1915年11月11日版本的场方程，该版本将协变性限制为单式变换。
• 追溯史瓦西解的推导过程，通过坐标变换 $x_1 = r^3/3$，$x_2 = -\cos\vartheta$，$x_3 = \varphi$，使度规可表示为函数 $M(r)$ 与 $W(r)$ 的形式，从而导出区间 (45)。
• 识别出史瓦西的解包含两个积分常数：一个用于质量 ($\alpha$)，另一个用于内边界，他通过连续性假定将奇点固定在 $r = \alpha$。
• 将史瓦西的解与希尔伯特的解进行比较，表明希尔伯特的推导使用了不同的变分原理与坐标系，导致其流形存在不可消除的局部内禀奇点。
• 分析希尔伯特流形的几何与物理缺陷：缺乏一致的时间箭头，以及即使在克鲁斯卡尔-泽克雷斯扩展中仍存在的局部奇点。
• 利用标量曲率 $K$ 的变分及作用量积分 $\int K\sqrt{g}\,dr\,d\vartheta\,d\varphi\,dl$ 推导出拉格朗日方程 $m' = 0$，$w' = 0$，在给定约束下确认了通解的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何希尔伯特版本的史瓦西解而非史瓦西的原始解成为广义相对论教科书与研究中的标准？
• RQ2 希尔伯特流形存在哪些物理与几何缺陷，而这些缺陷在史瓦西的原始解中并不存在？
• RQ3 菲利普·弗兰克对史瓦西论文的早期评述在历史性误 attribution 到希尔伯特方面起到了何种作用？
• RQ4 为何史瓦西的原始解（包含两个积分常数且需额外假定）尽管物理上更一致，却因历史与编辑因素而长期被忽视？
• RQ5 克鲁斯卡尔-泽克雷斯扩展在多大程度上解决了希尔伯特流形的物理缺陷，特别是内禀奇点问题？

主要发现

• 史瓦西的原始解源自爱因斯坦1915年11月11日的场方程（具有单式协变性），包含两个积分常数：一个用于质量，另一个用于内边界，后者通过连续性假定被固定在 $r = \alpha$。
• 希尔伯特的解通过不同的变分原理推导，对应于一个与史瓦西解不等价的流形，且存在两个关键缺陷：无法定义一致的时间箭头，且存在一个不可消除的局部内禀奇点。
• 希尔伯特流形中的局部内禀奇点即使在克鲁斯卡尔-泽克雷斯扩展中依然存在，因其为局部性质，而非坐标奇点。
• 标准的“史瓦西”度规 (1)：$ds^2 = (1 - 2m/r)dt^2 - (1 - 2m/r)^{-1}dr^2 - r^2(d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d\phi^2)$ 并不等价于史瓦西的原始解，后者在 $r = \alpha$ 处有奇点，且仅在 $r > \alpha$ 时为正则。
• 尽管存在物理缺陷，希尔伯特流形的广泛采纳在很大程度上受到菲利普·弗兰克对史瓦西论文不完整评述的影响，其遗漏了关于坐标变换与场方程版本的关键细节。
• 本文结论认为，史瓦西的原始解在物理上更自洽，因其避免了不可消除的局部奇点并允许定义一致的时间箭头，但因历史与编辑因素而被掩盖。