[论文解读] David maps and Hausdorff Dimension

Saeed Zakeri|ArXiv.org|Dec 7, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文研究了大卫映射（David maps）——一类具有受控无穷膨胀的双李映射——对豪斯多夫维数的扭曲效应。证明了对任意 α, β ∈ [0,2]，存在一个大卫映射将紧致集的维数 α 映射为维数 β 的集合，并构造了一条豪斯多夫维数为 2 的若尔当曲线，该曲线具有共形可移除性，表明此类曲线即使高度不规则，仍可共形可移除。

ABSTRACT

David maps are generalizations of classical planar quasiconformal maps for which the dilatation is allowed to tend to infinity in a controlled fashion. In this note we examine how these maps distort Hausdorff dimension. We show \vs {enumerate} [$\bullet$] Given $α$ and $β$ in $[0,2]$, there exists a David map $ϕ:\CC o \CC$ and a compact set $Λ$ such that $\Hdim Λ=α$ and $\Hdim ϕ(Λ)=β$. \vs [$\bullet$] There exists a David map $ϕ:\CC o \CC$ such that the Jordan curve $Γ=ϕ(\Sen)$ satisfies $\Hdim Γ=2$.\vs {enumerate} One should contrast the first statement with the fact that quasiconformal maps preserve sets of Hausdorff dimension 0 and 2. The second statement provides an example of a Jordan curve with Hausdorff dimension 2 which is (quasi)conformally removable.

研究动机与目标

• 研究具有受控无穷膨胀的双李映射（即大卫映射）对紧致集豪斯多夫维数的影响。
• 确定大卫映射是否可将任意维数 α ∈ [0,2] 的集合映射为任意维数 β ∈ [0,2] 的像。
• 研究豪斯多夫维数为 2 的若尔当曲线是否存在且共形可移除。
• 通过构造具有极端几何复杂性的例子，将共形可移除性理论拓展至拟共形映射之外。

提出的方法

• 构造一列拟共形映射 φₙ，其最大膨胀系数 Kₙ ≍ √n，每幅映射将类似康托尔集的集合 Σₙ 映射为具有指定维数的集合 Λ。
• 通过在 Σₙ 上使用面积估计，验证在 K_φ > K 的集合上满足指数衰减条件，从而证明极限映射 φ = lim φₙ 是一个大卫映射。
• 应用图基亚的紧致性定理于大卫映射，确保极限映射 φ 是一个良定义的大卫同胚。
• 应用可测黎曼映射定理及大卫对贝尔特拉米方程（Beltrami equation）在 |μ| > 1−ε 时具有指数衰减条件下的可解性结果。
• 证明若一个同胚 f 在曲线 Γ = φ(𝕊¹) 之外是共形的，则 f∘φ 是一个大卫映射，从而推出 f 在整个复平面上都是共形的。
• 证明 f∘φ 在 𝔻 和 ℂ∖𝔻̄ 中均为大卫映射，然后应用一个引理，得出 f 在 ℂ 上共形。

实验结果

研究问题

• RQ1 大卫映射是否可将豪斯多夫维数为 α 的紧致集映射为维数 β 的集合，其中 α, β ∈ [0,2]？
• RQ2 能否构造一条豪斯多夫维数为 2 的若尔当曲线，使其共形可移除？
• RQ3 大卫映射是否保持曲线在像下的共形可移除性？
• RQ4 大卫映射的雅可比行列式与赫尔德连续性行为与拟共形映射有何不同？
• RQ5 当一条曲线作为单位圆在大卫映射下的像出现时，其可移除性是否仍能保持？

主要发现

• 对任意 α, β ∈ [0,2]，存在一个大卫映射 φ: ℂ → ℂ 及一个紧致集 Λ，使得 dim_H(Λ) = α 且 dim_H(φ(Λ)) = β。
• 存在一个大卫映射 φ，使得其像 Γ = φ(𝕊¹) 是一条豪斯多夫维数为 2 的若尔当曲线。
• 所构造的维数为 2 的若尔当曲线是共形可移除的，表明可移除性并不要求有限长度或维数小于 2。
• 大卫映射可任意扭曲豪斯多夫维数，而拟共形映射则保持维数为 0 和 2 的集合不变。
• 大卫映射的逆映射不一定是大卫映射，且大卫映射不一定是局部赫尔德连续的，其雅可比行列式也不属于 L^p_loc（对任意 p > 1）。
• 当 f 在 φ(𝕊¹) 之外是共形的时，f∘φ 是一个大卫映射，且大卫定理中的唯一性意味着 f 处处共形，从而证明了像曲线的可移除性。