[论文解读] De Finetti theorems for a Boolean analogue of easy quantum groups

Tomohiro Hayase|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了从区间划分导出的新一类量子半群的布尔德·芬内蒂定理，引入了易处理量子群的布尔 analogue。通过在这些结构上构造唯一的哈尔测度，作者证明了在量子半群共变作用下的不变性刻画了布尔独立同分布序列，且在尾代数上对中心化伯努利、偶分布同分布及平移伯努利族有不同刻画。

ABSTRACT

We show an organized form of quantum de Finetti theorem for Boolean independence. We define a Boolean analogue of easy quantum groups for the categories of interval partitions, which is a family of sequences of quantum semigroups. We construct the Haar states on those quantum semigroups. The proof of our de Finetti theorem is based on the analysis of the Haar states. [Modified]Definition of the Boolean quantum semigroups on categories of interval partitions [Delete]Classification of categories of interval partitions [Add]Proof of the positiveness of the Haar functionals (in particular they are Haar states)

研究动机与目标

• 通过量子对称性发展布尔独立性的非交换概率框架。
• 基于区间划分，定义并分析易处理量子群的布尔 analogue。
• 在布尔量子半群上构造哈尔测度，并利用其证明德·芬内蒂定理。
• 将受这些量子对称性不变的随机变量序列刻画为条件布尔独立同分布或相关族。
• 将自由量子群德·芬内蒂定理的系统化策略扩展至布尔设定。

提出的方法

• 定义与布尔累积量相关的区间划分范畴，构成布尔预-量子半群的基础。
• 从这些划分范畴构造带有共积的单位 *-代数，然后取 C*-完备化以形成布尔量子半群。
• 证明 Beq_s(n)、Beq_o(n) 和 Beq_h(n) 以及预-量子半群 A_p[I_b] 上哈尔测度的存在性与唯一性。
• 利用哈尔测度分析量子半群共变作用下联合分布的不变性。
• 应用改进的鞅收敛性与累积量展开，将不变性与条件布尔独立性及同分布性联系起来。
• 建立代数共变作用下的不变性与在非单位尾 C*-代数上的条件独立同分布或结构化布尔独立性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于区间划分的布尔易处理量子群的 analogue 是什么？
• RQ2 哪些布尔量子半群允许唯一的哈尔测度，以及如何构造它们？
• RQ3 在布尔量子半群共变作用下的不变性如何刻画随机变量序列的联合分布？
• RQ4 在这些对称性下不变的序列的精确分布性质（例如独立同分布、中心化伯努利、偶分布）是什么？
• RQ5 预-量子半群上的哈尔测度与完备化量子半群上的哈尔测度之间有何关系？

主要发现

• 布尔量子半群 Beq_s(n)、Beq_o(n) 和 Beq_h(n) 分别允许唯一的哈尔测度 h_s、h_o 和 h_h。
• 序列 (x_j) 是 Beq_s-不变的，当且仅当它在非单位尾冯诺依曼代数 M_nut 上为布尔独立同分布。
• 序列 (x_j) 是 Beq_o-不变的，当且仅当它构成一个以 M_nut 为值的布尔中心化伯努利族。
• 序列 (x_j) 是 Beq_h-不变的，当且仅当它在 M_nut 上为布尔独立且具有偶分布、同分布的边缘分布。
• 对于范畴 I_b，预-量子半群 A_p[I_b] 允许唯一的哈尔测度，且其共变作用下的不变性刻画了一个以 M_nut 为值的布尔平移伯努利族。
• 证明依赖于条件期望的收敛性与涉及区间划分的累积量展开，表明 E_nut[x_j1...x_jk] 等于所有满足 σ ≤ ker j 的区间划分 σ 上布尔累积量 K^E_nut_σ[x1,...,x1] 的和。