[论文解读] de Rham and Dolbeault Cohomology of solvmanifolds with local systems

Hisashi Kasuya|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文建立了可解流形上带有局部系统时的de Rham上同调与由可解群的特征标扭的李代数上同调群的直和之间的广义同构。通过利用在幂零子代数上消失的特征标所关联的平坦线丛，构造了一个显式的有限维复形，即使标准同构不成立时也能计算上同调，将经典尼尔曼流形的结果推广至可解流形的de Rham与Dolbeault上同调。

ABSTRACT

Let $G$ be a simply connected solvable Lie group with a lattice $Γ$ and the Lie algebra $\g$ and a representation $ρ:G o GL(V_ρ)$ whose restriction on the nilradical is unipotent. Consider the flat bundle $E_ρ$ given by $ρ$. By using "many" characters $\{α\}$ of $G$ and "many" flat line bundles $\{E_α\}$ over $G/Γ$, we show that an isomorphism \[\bigoplus_{\{α\}} H^{\ast}(\g, V_α\otimes V_ρ)\cong \bigoplus_{\{E_α\}} H^{\ast}(G/Γ, E_α\otimes E_ρ)\] holds. This isomorphism is a generalization of the well-known fact:"If $G$ is nilpotent and $ρ$ is unipotent then, the isomorphism $H^{\ast}(\g, V_ρ)\cong H^{\ast}(G/Γ, E_ρ)$ holds". By this result, we construct an explicit finite dimensional cochain complex which compute the cohomology $H^{\ast}(G/Γ, E_ρ)$ of solvmanifolds even if the isomorphism $H^{\ast}(\g, V_ρ)\cong H^{\ast}(G/Γ, E_ρ)$ does not hold. For Dolbeault cohomology of complex parallelizable solvmanifolds, we also prove an analogue of the above isomorphism result which is a generalization of computations of Dolbeault cohomology of complex parallelizable nilmanifolds. By this isomorphism, we construct an explicit finite dimensional cochain complex which compute the Dolbeault cohomology of complex parallelizable solvmanifolds.

研究动机与目标

• 将仅在尼尔曼流形上成立的经典同构 $ H^*(\frak{g}, V_\rho) \cong H^*(G/\Gamma, E_\rho) $ 推广至通常不成立的可解流形。
• 在标准李代数上同调同构不成立时，构造一个显式的有限维上链复形，以计算带有局部系统的可解流形的de Rham上同调。
• 通过类比特征标同构，将复平行化尼尔曼流形的Dolbeault上同调计算推广至复平行化可解流形。
• 通过利用 $ G/\Gamma $ 上的特征标与平坦线丛结构，为可解流形中的上同调计算提供系统性方法。

提出的方法

• 引入集合 $ \mathcal{A}_{(G,N)} $，即满足在幂零子代数 $ N $ 上平凡的特征标 $ \alpha: G \to \mathbb{C}^* $，由此导出 $ G/\Gamma $ 上的平坦线丛 $ E_\alpha $。
• 构造李代数上链复形的直和 $ \bigoplus_{\alpha \in \mathcal{A}_{(G,N)}} \bigwedge \frak{g}^* \otimes V_\alpha \otimes V_\rho $，并证明其可计算 $ G/\Gamma $ 上 $ E_\alpha \otimes E_\rho $ 系数的上同调。
• 通过左不变微分形式嵌入到de Rham复形中，诱导出上同调同构 $ \bigoplus_{\alpha} H^*(\frak{g}, V_\alpha \otimes V_\rho) \cong \bigoplus_{E_\alpha} H^*(G/\Gamma, E_\alpha \otimes E_\rho) $。
• 通过考虑全纯特征标与反全纯表示，将相同框架应用于Dolbeault上同调，得到涉及 $ \bigwedge \mathbb{C}^{\dim G} \otimes H^*(\frak{g}, V_\sigma) \cong H^{*,*}_{\bar{\partial}}(G/\Gamma, L_{\bar{\sigma}}) $ 的同构。
• 引入一个利用复结构 $ C $ 作用的扭复形 $ (\bigoplus_{\alpha} \bigwedge \frak{g}^* \otimes V_\alpha \otimes V_\rho)^{\Phi(C)} $，其通过有限维子复形计算上同调。
• 通过具体例子（如 $ \mathbb{C} \ltimes_{\phi} \mathbb{C}^2 $）分析表明，$ \dim H^1(G/\Gamma, E_{\rm Ad}) $ 依赖于晶格选择：当 $ b,d \in \pi\mathbb{Z} $ 时为6，否则为2。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典同构 $ H^*(\frak{g}, V_\rho) \cong H^*(G/\Gamma, E_\rho) $（在尼尔曼流形上成立）能否推广至通常不成立的可解流形？
• RQ2 当标准李代数上同调同构不成立时，是否存在一个有限维复形可计算带有局部系统的可解流形的de Rham上同调？
• RQ3 能否通过特征标与平坦线丛，将复平行化可解流形的Dolbeault上同调计算推广自幂零情形？
• RQ4 带有局部系统的可解流形的上同调如何依赖于晶格选择，特别是在非环面情形下？
• RQ5 在何种晶格条件下，可解流形的Dolbeault上同调与 $ \bigwedge \mathbb{C}^{\dim G} $ 同构？

主要发现

• 当 $ \rho|_N $ 为单峰时，同构 $ \bigoplus_{\alpha \in \mathcal{A}_{(G,N)}} H^*(\frak{g}, V_\alpha \otimes V_\rho) \cong \bigoplus_{E_\alpha \in \mathcal{A}_{(G,N)}(\Gamma)} H^*(G/\Gamma, E_\alpha \otimes E_\rho) $ 在可解流形上成立。
• 该同构提供了一个有限维上链复形，即使 $ H^*(\frak{g}, V_\rho) \cong H^*(G/\Gamma, E_\rho) $ 不成立时，也能计算 $ H^*(G/\Gamma, E_\rho) $。
• 对于复平行化可解流形的Dolbeault上同调，同构 $ \bigwedge \mathbb{C}^{\dim G} \otimes H^*(\frak{g}, V_\sigma) \cong H^{*,*}_{\bar{\partial}}(G/\Gamma, L_{\bar{\sigma}}) $ 在类似条件下成立。
• 在例子 $ G = \mathbb{C} \ltimes_{\phi} \mathbb{C}^2 $ 中，若 $ b,d \in \pi\mathbb{Z} $，则 $ \dim H^1(G/\Gamma, E_{\rm Ad}) = 6 $，否则降为2。
• 若 $ b \not\in \pi\mathbb{Z} $ 或 $ d \not\in \pi\mathbb{Z} $，则Dolbeault上同调 $ H^{*,*}_{\bar{\partial}}(G/\Gamma) $ 同构于 $ \bigwedge \mathbb{C}^3 \otimes H^*(\frak{g}) $；但若 $ b,d \in \pi\mathbb{Z} $，则同构于 $ \bigwedge \mathbb{C}^3 \otimes \bigwedge \mathbb{C}^3 $。