[论文解读] De Rham cohomology of diffeological spaces and foliations

G. Hector, E. Macías–Virgós+1 more|ArXiv.org|Mar 16, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文建立了叶层流形 $(M,\mathcal{F})$ 的基底类上同调与其实叶空间的微分几何空间上同调之间的典范同构，证明了 $H^*_{b}(M,\mathcal{F}) \cong H^*(M/\mathcal{F})$。该等价关系为紧致流形上李叶层与黎曼叶层的基底类上同调的拓扑不变性提供了全新的、简明的证明。

ABSTRACT

Let $(M,\mathcal{F})$ be a foliated manifold. We prove that there is a canonical isomorphism between the complex of base-like forms $Ω^*_b(M,\mathcal{F})$ of the foliation and the "De Rham complex" of the space of leaves $M/\mathcal{F}$ when considered as a "diffeological" quotient. Consequently, the two corresponding cohomology groups $H^*_b(M,\mathcal{F})$ and $H^*(M/\mathcal{F})$ are isomorphic.

研究动机与目标

• 建立叶层流形的基底类上同调 $H^*_{b}(M,\mathcal{F})$ 与其实叶空间的德雷姆上同调 $H^*(M/\mathcal{F})$ 之间的典范同构。
• 通过由周围流形诱导的商微分几何结构，将德雷姆上同调框架扩展至微分几何空间，特别是商空间 $M/\mathcal{F}$。
• 为紧致流形上李叶层的基底类上同调提供一种全新且简明的拓扑不变性证明。
• 通过标准代数拓扑技术，将此不变性推广至黎曼叶层。
• 证明当赋予商微分几何结构时，叶空间 $M/\mathcal{F}$ 支持一个与 $M$ 上基底类微分形式复形同构的德雷姆复形。

提出的方法

• 将叶空间 $M/\mathcal{F}$ 上的微分几何结构定义为由 $M$ 的光滑结构诱导的商微分几何。
• 通过图的拉回构造微分几何空间 $M/\mathcal{F}$ 上的德雷姆复形。
• 在基底类微分形式复形 $\Omega^*_{b}(M,\mathcal{F})$ 与德雷姆复形 $\Omega^*(M/\mathcal{F})$ 之间建立典范同构。
• 利用在李叶层情形下，叶空间 $M/\mathcal{F}$ 微分同胚于 $G/\Gamma$（其中 $G$ 为单连通李群，$\Gamma$ 为离散子群）的事实。
• 利用商空间 $G/\Gamma$ 的光滑结构以及叶空间映射的等变性，证明诱导映射的光滑性。
• 应用李群理论与代数拓扑的结果，特别是莫利诺的结构理论，将不变性结果推广至黎曼叶层。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在基底类上同调 $H^*_{b}(M,\mathcal{F})$ 与微分几何叶空间的德雷姆上同调 $H^*(M/\mathcal{F})$ 之间的典范同构？
• RQ2 李叶层的基底类上同调的拓扑不变性能否从微分几何上同调框架中推导而出？
• RQ3 叶空间 $M/\mathcal{F}$ 上的微分几何结构如何与叶层的标准几何不变量相关联？
• RQ4 在多大程度上，微分几何空间的德雷姆上同调可用于恢复经典不变量（如基底类上同调）？
• RQ5 作为微分几何空间的叶空间 $M/\mathcal{F}$ 是否保有足够的几何信息，以实现叶层的拓扑等价类分类？

主要发现

• 存在基底类微分形式复形 $\Omega^*_{b}(M,\mathcal{F})$ 与微分几何叶空间的德雷姆复形 $\Omega^*(M/\mathcal{F})$ 之间的典范同构。
• 基底类上同调 $H^*_{b}(M,\mathcal{F})$ 同构于微分几何商空间 $M/\mathcal{F}$ 的德雷姆上同调 $H^*(M/\mathcal{F})$。
• 当赋予商微分几何结构时，叶空间 $M/\mathcal{F}$ 支持一个能恢复经典基底类上同调的德雷姆上同调理论。
• 对于极小李叶层，叶空间 $M/\mathcal{F}$ 微分同胚于 $G/\Gamma$，其中 $G$ 为单连通李群，$\Gamma$ 为离散子群。
• 两个极小李叶层之间的叶层同胚诱导其叶空间之间的 $C^0$-微分几何同构，该同构必为光滑映射。
• 黎曼叶层的基底类上同调的拓扑不变性作为同构关系与标准代数拓扑技术的推论而成立。