[论文解读] De Rham model for string topology

Sergei Merkulov|ArXiv.org|Sep 2, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 18

一句话总结

本文通过陈的重积分理论，为弦拓扑建立了德雷姆模型，以几何上清晰的方式推导出查斯-沙利文乘积作为微分分次代数的导出范畴中的叶纳达乘积。该研究将陈对基于环路空间同调的模型推广至‘膜’情形，通过扭曲的微分分次代数，构造了自由环路空间同调与霍赫希尔德上同调之间的显式同构。

ABSTRACT

A De Rham model for string topology based on the theory of iterated integrals is presented.

研究动机与目标

• 为单连通紧致定向流形的自由环路空间上的弦拓扑运算，提供一个几何直观且计算便捷的德雷姆模型。
• 利用重积分，重新推导出查斯-沙利文乘积与 $Λ_M$-双模的导出范畴中叶纳达乘积之间的同构关系。
• 将陈对基于环路空间同调的模型推广至映射 $f:Z\to M$ 的情形，从而为拉回环路空间 $L_f$ 的弦拓扑代数建立德雷姆模型。
• 在奇异链复形与德雷姆代数 $\Lambda_Z$ 和 $M$ 的约化同调上的张量代数的扭曲张量积之间建立拟同构。
• 证明 $\mathbf{H}_\bullet(L_f)$ 上的查斯-沙利文乘积对应于扭曲微分分次代数 $\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle$ 的上同调上的霍赫希尔德乘积。

提出的方法

• 利用陈的重积分理论，构造从 $L_f$ 上奇异链到 $\Lambda_Z$ 上取值于 $\mathbb{R}\langle X\rangle$ 的上链的holonomy映射。
• 应用形式幂级数联络，以建模具有有限维上同调的微分分次代数的霍赫希尔德上同调。
• 在 $\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle$ 上引入扭曲微分 $d_f = d + \eth + \text{来自 } f^*\omega\text{ 的项}$，推广陈的微分 $\eth$。
• 通过holonomy映射，建立 $L_f$ 的奇异链复形与复形 $\left(\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle, d_f\right)$ 之间的拟同构。
• 利用 $f$ 下拉连接形式 $\omega$ 定义扭曲微分 $d_{f^*\omega}$，该微分用于建模弦拓扑运算。
• 证明上同调上的代数结构通过一个度数为 $-p$ 的拟同构，与霍赫希尔德上同调及霍赫希尔德乘积同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过几何方法，自然地将自由环路空间 $LM$ 的移位同调上的查斯-沙利文乘积识别为 $\Lambda_M$-双模的导出范畴中的叶纳达乘积？
• RQ2 如何将陈对基于环路空间 $\Omega M$ 同调的模型推广至映射 $f:Z\to M$ 的情形，从而为 $\mathbf{H}_\bullet(L_f)$ 建立德雷姆模型？
• RQ3 扭曲微分分次代数 $\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle$ 在微分 $d_f$ 下的上同调的精确代数结构是什么？它与弦拓扑有何关系？
• RQ4 映射 $f$ 下拉连接形式 $\omega$ 如何诱导出一个扭曲微分，从而建模 $L_f$ 上的弦拓扑乘积？
• RQ5 是否存在一个几何上有意义的拟同构，将 $L_f$ 上的奇异链与复形 $\left(\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle, d_f\right)$ 关联起来，并保持代数结构？

主要发现

• 同构 $\left(\mathbf{H}_\bullet(LM), \Cap\right) \cong \mathrm{Ext}^{\bullet}_{\Lambda_M \otimes \Lambda_M^{\circ}}(\Lambda_M, \Lambda_M)$ 通过重积分相关的holonomy映射实现几何化。
• 在 $\mathbf{H}_\bullet(L_f)$ 上的查斯-沙利文乘积同构于 $H^\bullet(\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle, d_f)$ 上的霍赫希尔德乘积，从而提供了一种新的计算模型。
• 当 $f: \text{point} \to M$ 时，该模型恢复了陈的原始结果：$H_\bullet(\Omega M) \cong H^\bullet(\mathbb{R}\langle X\rangle, \eth)$，其中 $\eth$ 可通过迭代过程计算。
• 当 $f: \mathbb{C}\mathbb{P}^m \to \mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 且 $m < n$ 时，代数 $\mathbf{H}_\bullet(L_f)$ 同构于 $\mathbb{R}[h, x, \nu]/(h^{m+1})$，其中 $|h|=2$，$|x|=-1$，$|\nu|=-2n$，且 $\nu$ 对应于 $\sum_{i+j=n+1} 1 \otimes x_i x_j$。
• 交集映射 $\cap_{[L_f]}: \mathbf{H}_\bullet(LM) \to \mathbf{H}_\bullet(L_f)$ 在同构下对应于下拉映射 $f^*: H^\bullet(\Lambda_M \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle, d_\omega) \to H^\bullet(\Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle, d_{f^*\omega})$，其在生成元上的显式作用为：$h \mapsto h$，$\nu \mapsto \nu$，$\mu \mapsto h x$。
• 映射 $\mathbf{Hol}: C_\bullet(L_f) \to \Lambda_Z \otimes \mathbb{R}\langle X\rangle$ 是复形之间的同态，且在上同调上诱导出同构，从而将弦拓扑代数实现为扭曲微分分次代数的上同调。