[论文解读] De seriebus divergentibus

Leonhard Euler, Artur Diener+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2012

History and Theory of Mathematics被引用 51

一句话总结

这部18世纪的开创性著作由欧拉撰写，探讨了发散级数的求和问题，提出某些发散级数——如 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $ 和 $ 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots $——可通过解析延拓和连分数表示法被赋予有限且有意义的值。欧拉证明，尽管这些值在经典意义上不收敛，但可通过代数运算、级数展开和连分数一致地推导出来，从而为发散级数赋予和值奠定了基础方法。

ABSTRACT

Euler gives a long introduction, giving all the arguments for and against the use of divergent series in calculus and then gives his own definition of the sum of a diverging series. Then in the second half of this paper he evaluates the the 1-1+2-6+24-120+720-... on several ways and gets the sum 0.5963473621372. The paper is translated from Euler's Latin original into German.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于发散级数是否可被赋予有限且有意义的和值的数学争议。
• 为赋予发散级数（尤其是振荡或无界增长的级数）和值提供严格的论证。
• 证明可通过代数运算、级数展开和连分数对发散级数进行系统分析。
• 表明即使具有快速增长项的发散级数，也可通过生成函数的正式运算与有限值相关联。
• 建立一种推导等价收敛表达式（如连分数）的方法，使原本发散的级数能获得一致的值。

提出的方法

• 使用几何级数展开式 $ \frac{1}{1+a} = 1 - a + a^2 - a^3 + \cdots $，代入 $ a = 1 $ 以分析发散级数 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $，得出和为 $ \frac{1}{2} $。
• 应用对称部分和的概念：当项数为偶数时，和为 0；当项数为奇数时，和为 1；因此取平均值 $ \frac{1}{2} $ 作为和。
• 引入连分数作为发散级数的收敛表示形式，例如 $ z = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cdots}}} $，其收敛于有限值。
• 推导出微分方程 $ x^m dx = x^{q+1} dz + (p-m)x^q z dx + z dx $，其解既可表示为无穷级数，也可表示为连分数。
• 通过设定 $ b=1, f=1, m+a=p, m-n=q $ 将微分方程转化为标准形式，简化解为 $ z = x^m - p x^{m+q} + p(p+q)x^{m+2q} - \cdots $。
• 使用包含指数积分的积分表示，如 $ z = e^{1/(2x^2)} x^{-1} \int e^{-1/(2x^2)} dx $，将解表示为收敛积分形式，以表达发散级数的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 发散级数如 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $ 是否可被赋予有限和？若可，其依据是什么？
• RQ2 数学上如何解释将值 $ \frac{1}{2} $ 赋予格朗迪级数 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $，尽管其具有振荡行为？
• RQ3 是否可通过生成函数的正式运算，为具有无界项的发散级数（如 $ 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots $）赋予有限值？
• RQ4 是否存在一种一致的方法，通过收敛连分数或积分形式表示发散级数？
• RQ5 如何通过分析方法系统地分析发散级数 $ 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots $ 并为其赋予有限值？

主要发现

• 发散级数 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $ 被赋予和值 $ \frac{1}{2} $，依据是对称部分和与几何级数的解析延拓。
• 当通过连分数 $ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cdots}}} $ 解释时，级数 $ 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots $ 收敛于 $ \frac{1}{4} $，其近似值为 $ 0.65568 $。
• 对于级数 $ z = x - x^3 + 3x^5 - 15x^7 + \cdots $，当 $ x = 1 $ 时，其值约为 $ 0.65568 $，该值由连分数 $ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cdots}}} $ 推导得出。
• 连分数表示 $ z = \cfrac{x^m}{1 + \cfrac{p x^q}{1 + \cfrac{q x^q}{1 + \cdots}}} $ 提供了一个与发散级数 $ z = x^m - p x^{m+q} + p(p+q)x^{m+2q} - \cdots $ 等价的收敛表达式。
• 微分方程 $ x^m dx = x^{q+1} dz + (p-m)x^q z dx + z dx $ 的解既是发散幂级数，也是收敛连分数，体现了其一致性。
• 当 $ m=1, p=1, q=2 $ 时，解 $ z = x - x^3 + 3x^5 - 15x^7 + \cdots $ 在 $ x=1 $ 处的值约为 $ z \approx 0.65568 $，并通过连分数的逐次有理逼近得到验证。