[论文解读] Decay estimates for linear and nonlinear nonlocal heat equations

Cristina Brändle, Arturo de Pablo|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 1

一句话总结

该论文为具有对称、非负 Lévy 型核的线性和非线性非局部热方程解建立了 $L^q$--$L^p$ 衰减估计，仅基于核在无穷远处的行为推导出界。证明了衰减速率与受限纳什不等式之间的等价性，并表明当 $t \to \infty$ 时 $\|u(t)\|_\infty \to 0$，将结果扩展至多孔介质型非线性项。

ABSTRACT

We obtain $L^q$--$L^p$ decay estimates, $1\le q<p<\infty$ for solutions of nonlocal heat equations of the form $\partial_tu+\mathcal{L} u=0$. Here $\mathcal{L}$ is an integral operator given by a symmetric nonnegative kernel of Levy type. We obtain these estimates in terms only of the behaviour of the kernel at infinity, without any information of its behaviour at the origin. This includes bounded and unbounded transition probability densities. An equivalence between the decay and a restricted Nash inequality is shown. We also prove that $\lim_{t o \infty}\|u(t)\|_\infty=0$. Finally we deal with nonlinear nonlocal equations of porous medium type $\partial_tu+\mathcal{L}\varphi(u)=0$.

研究动机与目标

• 为非局部热方程解的 $L^q$--$L^p$ 衰减估计提供推导，而无需依赖核在原点处行为的知识。
• 建立解的衰减速率与受限纳什不等式之间的等价性。
• 证明当时间趋于无穷时，解的 $L^\infty$-范数趋于零。
• 将分析扩展至形式为 $\partial_t u + \mathcal{L}\varphi(u) = 0$ 的非线性非局部方程，其中 $\varphi$ 为多孔介质型非线性项。

提出的方法

• 分析由对称、非负 Lévy 型核定义的非局部算子 $\mathcal{L}$，且不对核在原点处的行为作任何假设。
• 仅基于核在无穷远处的渐近行为，推导出 $1 \leq q < p < \infty$ 的 $L^q$--$L^p$ 衰减估计。
• 建立衰减速率与涉及核尾部的受限纳什型不等式之间的变分等价性。
• 使用泛函分析技术与积分核估计，以控制不同 $L^p$ 空间中解的范数。
• 通过多孔介质型非线性项 $\varphi(u)$ 的单调性与比较论证，将线性衰减框架扩展至非线性方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 非局部热方程的 $L^q$--$L^p$ 衰减估计如何依赖于核在无穷远处的行为？
• RQ2 在非局部设定下，解的衰减与受限纳什不等式之间的确切关系是什么？
• RQ3 非局部热方程解的 $L^\infty$-范数是否随时间趋于无穷而消失？
• RQ4 线性衰减框架能否扩展至多孔介质型的非线性非局部方程？

主要发现

• 论文建立了仅依赖于核在无穷远处行为、而不依赖于其在原点行为的 $L^q$--$L^p$ 衰减估计，适用于 $1 \leq q < p < \infty$。
• 证明了解的衰减速率与受限纳什不等式之间的等价性，将泛函不等式与长期行为联系起来。
• 证明了 $\lim_{t \to \infty} \|u(t)\|_\infty = 0$，确认了 $L^\infty$-范数随时间的消失。
• 将结果扩展至形式为 $\partial_t u + \mathcal{L}\varphi(u) = 0$ 的非线性非局部方程，其中 $\varphi$ 为多孔介质型非线性函数。