[论文解读] Decay estimates for Rivière's equation, with applications to regularity and compactness

Ben Sharp, Peter M. Topping|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文在 ℝ² 中的单位圆盘上建立了 Rivière 方程解的精确衰减估计，推广了调和映射与近乎调和映射理论。在连接项 Ω 的 L² 范数较小时，证明了弱解属于 $W^{2,p}_{\text{loc}}$（$p \in (1,2)$），并在非齐次项满足 $L\ln L$ 有界时建立了 $W^{1,2}$ 中的紧性，扩展了几何 PDE 中正则性与能量集中现象的结果。

ABSTRACT

We derive a selection of energy estimates for a generalisation of a critical equation on the unit disc in $\mathbb{R}^2$ introduced by Rivière. Applications include sharp regularity results and compactness theorems which generalise a large amount of previous geometric PDE theory, including some of the theory of harmonic and almost-harmonic maps from surfaces.

研究动机与目标

• 建立单位圆盘上 Rivière 方程 $-\Delta u = \Omega \cdot \nabla u + f$ 的 $L^p$ 正则性估计。
• 将正则性理论扩展至经典 $W^{2,2}$ 与 $C^{1,\alpha}$ 范畴之外，尤其在临界 $L^2$-连接设定下。
• 在非齐次项 $f$ 满足最小可积性假设（具体为 $f \in L\ln L$）下，证明解列的紧性。
• 在允许高阶范数中可能出现能量集中时，排除 $W^{1,2}$ 中的能量集中，并通过 $f$ 的依赖关系刻画此类行为。

提出的方法

• 利用加权 Sobolev 空间与 Lorentz 空间技术，推导广义 Rivière 方程的 $L^p$ 能量估计。
• 应用小量条件 $\|\Omega\|_{L^2} \leq \eta_0$ 以控制方程的非椭圆结构，从而获得 $W^{2,p}$ 估计。
• 利用 Rellich-Kondrachov 定理，从 $W^{2,p}$ 控制推出在 $W^{1,t}$（$t < \frac{2p}{2-p}$）中的预紧性。
• 引入一个新颖的吸收引理（引理 A.7）以控制振荡行为并导出衰减估计。
• 通过 Radon 测度理论分析集中现象，表明 $f_n$ 的 $L\ln L$ 有界性是紧性结果的最优条件。
• 应用 BV 函数理论与测度微分理论，控制 $|V_n|^2$ 与 $|\nabla V_n|$ 的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $f \in L^p$，$p < 2$，且 $\|\Omega\|_{L^2}$ 较小时，能否为 Rivière 方程的解建立精确的 $W^{2,p}$ 正则性估计？
• RQ2 何种最优可积性条件仍能保证解列在 $W^{1,2}$ 中的紧性？
• RQ3 若第二阶导数集中，但 $f_n$ 在 $L\ln L$ 中有界，是否仍可保持紧性？
• RQ4 $L\ln L$ 空间对紧性是否为最优？能否被更大的空间（如 $h^1$）替代？

主要发现

• 当 $f \in L^p(B_1)$，$p \in (1,2)$，且 $\|\Omega\|_{L^2} \leq \eta_0$ 时，解满足 $\|u\|_{W^{2,p}(U)} \leq C(\|f\|_{L^p} + \|u\|_{L^1})$，对任意 $U \subset\subset B_1$ 成立，证明了 $W^{2,p}_{\text{loc}}$ 正则性。
• 解 $u$ 属于 $W^{1,q}_{\text{loc}}$ 对所有 $q < \infty$，且当 $f \in L^p$ 时，属于 $C^{0,2(1-1/p)}$，恢复了 Rupflin 的一个结果。
• 当序列 $u_n$ 满足 $\|\Omega_n\|_{L^2} \leq \eta_2$ 且 $\|u_n\|_{L^1} + \|f_n\|_{L\ln L} \leq \Lambda$ 时，$W^{1,2}(B_{1/2})$ 中的紧性成立，意味着可经过子列提取后收敛。
• 若 $f_n$ 改为在 $h^1$ 中有界，则结果不成立，表明 $L\ln L$ 对紧性结果是最优的。
• 若无 $\Omega$ 的小量条件，估计 (3) 不成立，如反例所示：存在 $\|\Omega_k\|_{L^2}$ 有界但 $\|u_k\|_{W^{2,p}}$ 无界的序列。
• 只有当 $f_n$ 在 $L\ln L$ 中集中时，$\|\nabla^2 u_n\|_{L^1}$ 才可能集中，表明高阶集中现象与非齐次项 $f_n$ 密切相关。