[论文解读] Decay of correlations for nonuniformly expanding systems

Sébastien Gouëzel|ArXiv.org|Jan 15, 2004

Quantum chaos and dynamical systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通用框架，通过返回时间估计和Young塔，估算非一致扩张动力系统中相关性的衰减速率。证明了若系统的非一致性以 $ e^{-c\sqrt{n}} $ 的速度衰减，则相关性也以相同的拉伸指数衰减速率衰减，将先前结果从多项式衰减扩展至更快速率，并适用于Alves-Viana映射等系统。

ABSTRACT

We estimate the speed of decay of correlations for general nonuniformly expanding dynamical systems, using estimates on the time the system takes to become really expanding. Our method can deal with fast decays, such as exponential or stretched exponential. We prove in particular that the correlations of the Alves-Viana map decay in $O(e^{-c \sqrt{n}})$.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，用于估算非一致扩张动力系统中相关性的衰减速率。
• 将ALP02的结果从多项式衰减扩展至更快的衰减速率，包括拉伸指数衰减。
• 通过通用原理而非映射特异性分析，建立Alves-Viana映射具有 $ O(e^{-c\sqrt{n}}) $ 相关性衰减的结论。
• 提供一个适用于具有受控奇点和临界集亚指数返回的非一致扩张映射广泛类别的框架。

提出的方法

• 使用函数 $ h^{1}_{\varepsilon}(x) $ 衡量点变为一致扩张所需的时间，量化非一致性程度。
• 依赖于满足 $ h^{1}_{\varepsilon}(x) > n $ 的点的Lebesgue测度的控制，将其与相关性衰减速率联系起来。
• 通过返回到基集的时间构造一个抽象的Young塔，确保塔结构尊重动力系统和不变测度。
• 应用Young（1999）关于Young塔中混合性和相关性衰减的结果，特别是针对具有拉伸指数尾部的返回时间分布。
• 通过投影映射 $ \pi $ 的测度拉回，将塔空间中的衰减估计转换回原系统。
• 利用返回时间分布 $ m(R > n) = O(e^{-cn^{\eta}}) $ 且 $ \eta < 1 $ 时，可推出相关性具有 $ O(e^{-c'\sqrt{n}}) $ 衰减的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅通过轨道变为一致扩张所需的时间来估算非一致扩张系统中相关性的衰减速率？
• RQ2 ALP02的方法是否可扩展至快于多项式衰减的速率，如拉伸指数衰减？
• RQ3 Alves-Viana映射的相关性衰减速率的精确值是什么？是否可从通用原理而非映射特异性分析中推导出？
• RQ4 对奇点和返回临界集的控制如何影响相关性衰减速率？

主要发现

• 当返回时间分布满足 $ m(R > n) = O(e^{-cn^{\eta}}) $ 且 $ \eta = \frac{1}{2} $ 时，Hölder可观测量的相关性衰减速率被限制为 $ O(e^{-c'\sqrt{n}}) $。
• Alves-Viana映射表现出 $ O(e^{-c\sqrt{n}}) $ 的相关性衰减，证实了早期猜想，并将结果推广至更广泛的系统类别。
• 该方法适用于具有非一致扩张、受控奇点（多项式类型）以及临界集亚指数返回的系统。
• 通过构造具有拉伸指数返回时间尾部的Young塔，可借助测度投影在原系统中得到相同的相关性衰减速率。
• 当系统在其吸引子上拓扑传递时，不变测度唯一，且衰减速率在整个系统中保持一致。
• 该框架通过基于返回时间估计的统一方法，推广了先前结果，允许比多项式更快的衰减速率，包括指数衰减和拉伸指数衰减。