[论文解读] Decay of correlations on towers with non-Holder continuous Jacobian and non-exponential return time

Jérôme Buzzi, Véronique Maume‐Deschamps|arXiv (Cornell University)|May 7, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 3

一句话总结

该论文为具有非 Hölder 连续雅可比行列式和亚指数衰减返回时间的塔系统建立了相关性衰减的亚指数上界。通过扩展锥收缩技术，表明相关性衰减速率由两种衰减机制中较慢者决定——雅可比行列式的变分性和返回时间统计特性——从而为同时存在光滑性障碍与返回时间障碍的系统提供了统一的框架。

ABSTRACT

We establish upper bounds on the rate of decay of correlations of tower systems with summable variation of the Jacobian and integrable return time. That is, we consider situations in which the Jacobian is not Holder and the return time is only subexponentially decaying. We obtain a subexponential bound on the correlations, which is essentially the slowest of the decays of the variation of the Jacobian and of the return time.

研究动机与目标

• 分析在雅可比行列式不具有 Hölder 连续性且返回时间亚指数衰减的塔系统中相关性的衰减速率。
• 克服先前研究仅分别处理这两种障碍之一的局限性。
• 建立一个统一的相关性衰减上界，反映两种衰减速率中的最小值。
• 为非一致双曲系统（包括具有中性不动点的映射）提供一个通用框架。
• 将锥技术的应用扩展至同时处理非光滑雅可比行列式与非指数返回时间分布。

提出的方法

• 使用 Birkhoff 锥与射影度量分析转移算子在函数空间上的作用。
• 构造一系列函数锥 $ C_j $，其变分受控，且与动力系统和返回时间统计特性相适应。
• 定义转移算子在 $ k_j $ 次迭代后具有收缩率 $ \gamma_j < 1 $，确保在一致范数下收敛。
• 推导乘积 $ u_n = \prod_{j=2}^{\ell(n)} \gamma_j $ 作为主要衰减速率，其中 $ \ell(n) $ 是满足 $ k_1 + \cdots + k_{\ell(n)} \leq n $ 的最大指标。
• 在三种情形下对 $ u_n $ 进行显式估计：$ \omega_n $ 和 $ \hat{\nu}(\Delta_n) $ 的指数衰减、拉伸指数衰减和多项式衰减，利用 $ k_j $ 和 $ \gamma_j $ 的渐近分析。
• 将该方法应用于一个非 Hölder 映射，其具有中性不动点，表明相关性衰减为 $ \mathcal{O}(n^{-\min(\alpha, 1/\gamma - \varepsilon) + 1}) $，其中任意 $ \varepsilon > 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当雅可比行列式非 Hölder 且返回时间分布亚指数衰减时，塔系统中的相关性衰减速率如何？
• RQ2 锥方法能否扩展以同时处理非光滑性与重尾返回时间？
• RQ3 雅可比行列式变分的衰减速率与返回时间统计的衰减速率如何相互作用，从而决定整体混合速率？
• RQ4 能否导出一个反映两种衰减速率中较慢者的亚指数相关性衰减上界？
• RQ5 根据通用框架，一个非 Hölder 区间映射（具有中性不动点）的相关性衰减速率是多少？

主要发现

• 相关性衰减受 $ \mathcal{O}(n^{-\min(\alpha, \beta - \varepsilon) + 1}) $ 控制，其中 $ \alpha $ 控制雅可比行列式变分，$ \beta $ 控制返回时间分布的尾部，且对任意 $ \varepsilon > 0 $ 成立。
• 当 $ \omega_n = \mathcal{O}(n^{-\alpha}) $ 且 $ \hat{\nu}(\Delta_n) = \mathcal{O}(n^{-\beta}) $ 时，相关性衰减为 $ \mathcal{O}(n^{-\min(\alpha - 1, \beta - 1 - \varepsilon)}) $，其中 $ \varepsilon > 0 $ 是由于方法的技术限制。
• 在拉伸指数衰减情形下，若 $ \omega_n = \mathcal{O}(e^{-n^\alpha}) $ 且 $ \hat{\nu}(\Delta_n) = \mathcal{O}(e^{-n^\beta}) $，则衰减为 $ \mathcal{O}(e^{-n^{\min(\alpha, \beta) - \varepsilon}}) $，与两者中较慢的衰减速率一致。
• 在多项式情形下，收缩系数为 $ \gamma_j = \max(1/D, D^{-\gamma/(\alpha-1)}) $，最终衰减速率取决于 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的相对大小。
• 将该方法应用于一个非 Hölder 映射，其满足 $ f(x) $ 具有中性不动点，得到相关性衰减率为 $ \mathcal{O}(n^{-\min(\alpha, 1/\gamma - \varepsilon) + 1}) $，这是此类系统中的首个此类结果。
• 该上界仅依赖于可观测量 $ \psi $ 的 $ L^1 $-范数，这对研究非一致双曲系统中返回时间的渐近规律至关重要。