[论文解读] Decay towards the overall-healthy state in SIS epidemics on networks

Piet Van Mieghem|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Complex Network Analysis Techniques参考文献 19被引用 23

一句话总结

本文提出了一种代数方法，用于精确计算随机三对角矩阵的第二大特征值，从而实现对网络中SIS流行病衰减速率的精确估计。研究证明，当N较大时，超过流行病阈值的预期灭绝时间呈O(e^{N ln(τ/τ_c)})量级，该结果改进了先前的估计，并确认了在多种网络拓扑结构下均存在指数级寿命缩放关系。

ABSTRACT

The decay rate of SIS epidemics on the complete graph $K_{N}$ is computed analytically, based on a new, algebraic method to compute the second largest eigenvalue of a stochastic three-diagonal matrix up to arbitrary precision. The latter problem has been addressed around 1950, mainly via the theory of orthogonal polynomials and probability theory. The accurate determination of the second largest eigenvalue, also called the \emph{decay parameter}, has been an outstanding problem appearing in general birth-death processes and random walks. Application of our general framework to SIS epidemics shows that the maximum average lifetime of an SIS epidemics in any network with $N$ nodes is not larger (but tight for $K_{N}$) than \[ E\left[ T ight] \sim\frac{1}δ\frac{\fracτ{τ_{c}}\sqrt{2π}% }{\left( \fracτ{τ_{c}}-1 ight) ^{2}}\frac{\exp\left( N\left\{ \log\fracτ{τ_{c}}+\frac{τ_{c}}τ-1 ight\} ight) }{\sqrt {N}}=O\left( e^{N\ln\fracτ{τ_{c}}} ight) \] for large $N$ and for an effective infection rate $τ=\fracβδ$ above the epidemic threshold $τ_{c}$. Our order estimate of $E\left[ T ight] $ sharpens the order estimate $E\left[ T ight] =O\left( e^{bN^{a}} ight) $ of Draief and Massoulié \cite{Draief_Massoulie}. Combining the lower bound results of Mountford \emph{et al.} \cite{Mountford2013} and our upper bound, we conclude that for almost all graphs, the average time to absorption for $τ>τ_{c}$ is $E\left[ T ight] =O\left( e^{c_{G}N} ight) $, where $c_{G}>0$ depends on the topological structure of the graph $G$ and $τ$.

研究动机与目标

• 推导出在具有N个节点的网络中SIS流行病吸收（灭绝）的期望时间的紧上界。
• 解决长期存在的难题：对随机三对角矩阵的第二大特征值（衰减参数）进行精确计算。
• 将Draief和Massoulié提出的E[T] = O(e^{bN^a})的量级估计改进为E[T] = O(e^{N ln(τ/τ_c)})，且该结果在N较大时成立。
• 建立几乎对所有图而言，平均灭绝时间均呈O(e^{c_G N})量级，其中c_G > 0依赖于网络拓扑结构和τ。
• 通过证明该上界在完全图K_N上是紧的，从而验证其紧致性。

提出的方法

• 应用代数方法，以任意精度计算随机三对角矩阵的第二大特征值。
• 利用20世纪50年代左右发展出的正交多项式与概率论结果，求解特征值问题。
• 利用Fill和Miclo的结果，将吸收时间T表示为独立指数随机变量之和，其速率等于无穷小生成元−Q的非零特征值。
• 通过渐近分析推导涉及吸收时间分布拉普拉斯变换的积分的界。
• 采用斯特林公式处理阶乘，并对包含泊松型项的和式进行渐近展开，以简化最终表达式。
• 结合Mountford等人提出的上下界与新推导的上界，得出E[T]的指数缩放行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当有效感染率τ超过流行病阈值τ_c时，SIS流行病在N个节点的网络中，期望灭绝时间E[T]的精确量级是什么？
• RQ2 如何对大规模网络中SIS过程无穷小生成元的第二大特征值进行任意精度的计算？
• RQ3 能否将E[T] = O(e^{bN^a})的量级估计进一步精确化为大N下的更精确指数形式？
• RQ4 完全图K_N是否是超过流行病阈值时期望灭绝时间最大的网络？
• RQ5 灭绝时间缩放常数c_G如何依赖于网络G的拓扑结构？

主要发现

• 当N个节点的网络中τ > τ_c时，SIS流行病的期望灭绝时间E[T]的上界为O(e^{N ln(τ/τ_c)}），该结果显著改进了先前的O(e^{bN^a})估计。
• 该上界在完全图K_N上是紧的，意味着K_N在所有N个节点的网络中实现了最大可能的期望灭绝时间。
• 对于几乎所有图，平均灭绝时间均呈E[T] = O(e^{c_G N})量级，其中c_G > 0依赖于网络的拓扑结构和τ。
• 推导过程依赖于对涉及泊松分布和伽马函数的积分与和式的精确渐近分析。
• 该方法成功利用代数与特殊函数技术，以高精度计算出生成矩阵的衰减参数（第二大特征值）。
• E[T]的最终表达式通过斯特林公式和以m = N/x为中心的和式渐近评估导出，证实了其与N的指数缩放关系。