[论文解读] Decentralized Coherent Quantum Control Design for Translation Invariant Linear Quantum Stochastic Networks with Direct Coupling

Arash Kh. Sichani, Igor G. Vladimirov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种针对大规模、平移不变的线性量子随机网络（具有直接耦合）的去中心化一致量子控制设计，利用空间傅里叶变换将问题重构于频域。在热力学极限下，通过利用代价泛函对控制器参数的弗雷chet导数，推导出最小化加权均方性能指标的稳定控制器的一阶必要最优性条件。

ABSTRACT

This paper is concerned with coherent quantum control design for translation invariant networks of identical quantum stochastic systems subjected to external quantum noise. The network is modelled as an open quantum harmonic oscillator and is governed by a set of linear quantum stochastic differential equations. The dynamic variables of this quantum plant satisfy the canonical commutation relations. Similar large-scale systems can be found, for example, in quantum metamaterials and optical lattices. The problem under consideration is to design a stabilizing decentralized coherent quantum controller in the form of another translation invariant quantum system, directly coupled to the plant, so as to minimize a weighted mean square functional of the dynamic variables of the interconnected networks. We consider this problem in the thermodynamic limit of infinite network size and present first-order necessary conditions for optimality of the controller.

研究动机与目标

• 设计一种针对由线性量子随机微分方程（QSDEs）描述的大规模、平移不变量子网络的稳定、去中心化一致量子控制器。
• 在热力学极限（无限网络规模）下，最小化动态变量的加权均方性能泛函。
• 确保控制器本身是一个直接耦合于被控对象的平移不变量子系统，以保持量子相干性。
• 利用空间频域中的变分法，推导控制器参数的最优性一阶必要条件。
• 通过使用谱密度而非格朗姆矩阵与代数里卡蒂方程，将一致量子控制理论扩展至经典LQG框架之外。

提出的方法

• 将量子被控对象与控制器建模为具有周期性边界条件（PBCs）的相同线性量子随机系统的平移不变网络。
• 使用空间傅里叶变换（DFTs）将空间扩展的系统动力学转换为频域表示，简化分析。
• 通过复平面上单位圆的围线积分，将性能代价表述为动态变量的加权均方泛函。
• 使用伴随法计算代价泛函对控制器参数（R2,ε, ω, τ）与耦合矩阵（R~0）的弗雷chet导数。
• 通过令弗雷chet导数为零，推导出涉及谱密度与汉基安算子的代数方程，从而获得必要最优性条件。
• 利用代数莱普诺夫方程（ALE）与谱因式分解技术，将协方差矩阵与互协方差矩阵表示为系统参数的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为大规模、平移不变的量子网络设计一种去中心化一致量子控制器，以在热力学极限下最小化均方性能指标？
• RQ2 当被控对象与控制器通过直接耦合连接时，此类控制器的最优性一阶必要条件是什么？
• RQ3 空间傅里叶变换在具有周期性边界条件的平移不变网络中如何简化一致量子控制的分析？
• RQ4 所推导的最优性条件与经典LQG控制方法有何不同，特别是在依赖谱密度而非格朗姆矩阵方面？
• RQ5 所推导的最优性条件能否用于构建数值算法，以寻找局部最优控制器？

主要发现

• 论文以涉及汉基安算子与谱密度的代数方程形式，推导出去中心化一致量子控制器的一阶必要最优性条件。
• 代价泛函对控制器耦合矩阵R2,ε的弗雷chet导数，表达为包含汉基安算子与控制器参数的复函数的留数。
• 对被控对象-控制器耦合矩阵R~0的导数，表示为包含控制器哈密顿量、互协方差与系统矩阵的留数。
• 最优性条件在空间频域中通过单位圆围线积分形式表述，使得热力学极限下的分析成为可能。
• 结果可推广至高维晶格，将框架扩展至一维网络之外。
• 所推导的条件可用于基于梯度的数值优化，以寻找局部最优稳定控制器，如先前工作的类比所示。