[论文解读] Decidability for Sturmian words

Philipp Hieronymi, Dun Ma+4 more|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|Feb 16, 2021

Natural Language Processing Techniques被引用 4

一句话总结

本文通过证明带有单个Sturmian词的Presburger算术的一阶扩张是统一的ω-自动的，建立了Sturmian词在Presburger算术上的的一阶理论的可判定性。关键贡献是通过工具Pecan实现的决策程序，该程序可自动验证经典定理，并推导出关于特征Sturmian词中反平方数与反回文词的新结果。

ABSTRACT

We show that the first-order theory of Sturmian words over Presburger arithmetic is decidable. Using a general adder recognizing addition in Ostrowski numeration systems by Baranwal, Schaeffer and Shallit, we prove that the first-order expansions of Presburger arithmetic by a single Sturmian word are uniformly $ω$-automatic, and then deduce the decidability of the theory of the class of such structures. Using an implementation of this decision algorithm called Pecan, we automatically reprove classical theorems about Sturmian words in seconds, and are able to obtain new results about antisquares and antipalindromes in characteristic Sturmian words.

研究动机与目标

• 建立Sturmian词在Presburger算术上的一阶理论的可判定性。
• 将已知的关于单个Sturmian词的可判定性结果扩展到此类结构的整个类。
• 利用ω-自动性与记数系统，开发用于Sturmian词组合性质的自动化决策程序。
• 通过名为Pecan的工具实现并验证决策算法，以实现定理的实际验证。
• 通过研究涉及非二次无理数的关联结构中的不可判定性，探索可判定性的边界。

提出的方法

• 利用通过Ostrowski记数系统和加法的有限自动机证明的带有Sturmian词的Presburger算术一阶扩张的ω-自动性。
• 使用Baranwal、Schaeffer与Shallit构造的通用加法器，该加法器可识别Ostrowski记数系统中的加法，以建立统一的ω-自动性。
• 证明结构类$\mathcal{K}_{\text{sturmian}}$与$\mathcal{K}_{\text{char}}$是统一的ω-自动的，从而推导出其一阶理论的可判定性。
• 在名为Pecan的工具中实现决策算法，以自动验证关于Sturmian词的逻辑语句。
• 通过模型论技术（包括可定义性与自动机理论表示）分析Sturmian词的逻辑结构。
• 通过证明引入一元函数符号$\lambda$的扩展会导致非二次无理数的不可判定性，探究可判定性的边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有Sturmian词在Presburger算术上的一阶理论是否可判定？
• RQ2 单个Sturmian词结构的可判定性是否可扩展到此类结构的整个类？
• RQ3 自动化工具如Pecan在多大程度上可重新证明或发现Sturmian词组合性质的新结果？
• RQ4 当语言扩展为包含额外函数（如$\lambda(x) = \lfloor \alpha x \rfloor$）时，可判定性的计算边界是什么？
• RQ5 是否存在自然的非二次无理数（如$e$或$\pi$），使得其理论仍保持可判定？

主要发现

• 一阶理论$\mathrm{FO}(\mathcal{K}_{\text{sturmian}})$与$\mathrm{FO}(\mathcal{K}_{\text{char}})$是可判定的，这一结果扩展了以往仅对二次数等特定无理数成立的结论。
• 结构类$\mathcal{N}_{\alpha,\rho}$是统一的$\omega$-自动的，这暗示其一阶理论的可判定性。
• Pecan工具在数秒内自动重新证明了经典定理（如平衡性质与子词复杂度）。
• Pecan发现了新结果，包括特征Sturmian词中反平方数与反回文词的结构性质。
• $\mathrm{FO}(\mathcal{K}_{\lambda})$理论（涉及一元函数符号$\lambda(x) = \lfloor \alpha x \rfloor$）对于非二次无理数$\alpha$是不可判定的，原因在于通用图灵机的可定义性。
• $\mathrm{FO}(\mathcal{K}_{\lambda,q})$在二次无理数情形下的可判定性仍是开放问题，且尚无从$\mathrm{FO}(\mathcal{K}_q)$到此问题的直接归约。