[论文解读] Decidability of minimization of fuzzy automata

Lvzhou Li, Daowen Qiu|arXiv (Cornell University)|May 18, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文通过引入基于求解模糊多项式方程组的新框架，证明了在全序格上模糊自动机的最小化问题的可判定性。关键贡献在于提出了一种决策过程，可判断给定的模糊自动机是否存在等价的k状态自动机，从而确立该问题为可判定问题，且至少为PSPACE-完全。

ABSTRACT

State minimization is a fundamental problem in automata theory. The problem is also of great importance in the study of fuzzy automata. However, most work in the literature considered only state reduction of fuzzy automata, whereas the state minimization problem is almost untouched for fuzzy automata. Thus in this paper we focus on the latter problem. Formally, the decision version of the minimization problem of fuzzy automata is as follows: \begin{itemize} \item Given a fuzzy automaton $\mathcal{A}$ and a natural number $k$, that is, a pair $\langle \mathcal{A}, k angle$, is there a $k$-state fuzzy automaton equivalent to $\mathcal{A}$? \end{itemize} We prove for the first time that the above problem is decidable for fuzzy automata over totally ordered lattices. To this end, we first give the concept of systems of fuzzy polynomial equations and then present a procedure to solve these systems. Afterwards, we apply the solvability of a system of fuzzy polynomial equations to the minimization problem mentioned above, obtaining the decidability. Finally, we point out that the above problem is at least as hard as PSAPCE-complete.

研究动机与目标

• 解决模糊自动机状态最小化问题在理论上长期悬而未决的开放问题。
• 形式化最小化问题的决策版本：给定一个模糊自动机𝒜和整数k，是否存在一个等价的k状态模糊自动机？
• 建立一种基于可解模糊多项式方程组的程序，以判断k状态等价模糊自动机的存在性。
• 分析最小化问题的计算复杂度，表明其至少与PSPACE-完全问题一样困难。

提出的方法

• 将决策问题定义为判断集合𝕊(𝒜,k)是否非空，该集合包含所有与𝒜等价的k状态自动机。
• 构建一组模糊多项式方程（25），编码原始自动机与候选k状态自动机之间的等价性约束。
• 使用算法I检查模糊多项式方程组的可解性，从而确定是否存在有效的k状态自动机。
• 通过迭代复合转移函数δ和输出函数η，计算方程右侧的值，直至长度c = |V|^{n+k}−1。
• 对所有可能的状态赋值X ∈ V^{2k+|Σ|k²}评估左侧，以测试方程组的可解性。
• 应用定理4验证方程组是否存在解，从而决定k状态等价自动机的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全序格上，模糊自动机的最小化问题是否可判定？
• RQ2 能否通过算法确定等价k状态模糊自动机的存在性？
• RQ3 模糊自动机最小化问题的计算复杂度是多少？
• RQ4 能否有效求解模糊多项式方程组以实现最小化？

主要发现

• 在全序格上，模糊自动机的最小化问题具有可判定性，这是该长期悬而未决问题的首个正面结果。
• 基于模糊多项式方程组的可解性，构建了决策程序，可判断k状态等价模糊自动机的存在性。
• 该算法的时间复杂度为O(|V|^{2k+|Σ|k²} N k² + N n²)，其中N = 1 + |Σ| + ⋯ + |Σ|^{c}，且c = |V|^{n+k}−1。
• 通过从已知为PSPACE-完全的NFA最小化问题进行归约，表明该问题至少与PSPACE-完全问题一样困难。
• 所提出的方法将基于不可区分性的状态合并概念推广至模糊自动机，通过编码在模糊多项式系统中的代数约束实现。