[论文解读] Decidable (Ac)counting with Parikh and Muller: Adding Presburger Arithmetic to Monadic Second-Order Logic over Tree-Interpretable Structures

Luisa Herrmann, Peth, Vincent+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2023

Formal Methods in Verification被引用 1

一句话总结

本文提出了 ωMSO⋊⋉BAPA，一种结合了单峰第二阶逻辑、布尔代数和树可解释结构上的普雷舍伯算术的可判定逻辑。通过一种新颖的帕里克-穆勒树自动机（PMTA）模型，建立了在无限二叉树上满足性的可判定性，将结果推广至宽度有界的结构类别，并实现了对表达性扩展（如带有全局普雷舍伯约束的完全丰富 μ-演算）的可判定性。

ABSTRACT

We propose $ω$MSO$\Join$BAPA, an expressive logic for describing countable structures, which subsumes and transcends both Counting Monadic Second-Order Logic (CMSO) and Boolean Algebra with Presburger Arithmetic (BAPA). We show that satisfiability of $ω$MSO$\Join$BAPA is decidable over the class of labeled infinite binary trees, whereas it becomes undecidable even for a rather mild relaxations. The decidability result is established by an elaborate multi-step transformation into a particular normal form, followed by the deployment of Parikh-Muller Tree Automata, a novel kind of automaton for infinite labeled binary trees, integrating and generalizing both Muller and Parikh automata while still exhibiting a decidable (in fact PSpace-complete) emptiness problem. By means of MSO-interpretations, we lift the decidability result to all tree-interpretable classes of structures, including the classes of finite/countable structures of bounded treewidth/cliquewidth/partitionwidth. We generalize the result further by showing that decidability is even preserved when coupling width-restricted $ω$MSO$\Join$BAPA with width-unrestricted two-variable logic with advanced counting. A final showcase demonstrates how our results can be leveraged to harvest decidability results for expressive $μ$-calculi extended by global Presburger constraints.

研究动机与目标

• 开发一种可判定逻辑，将 MSO 扩展为同时具备计数和算术能力，适用于无限树结构。
• 解决缺乏基于自动机的无限树形式化方法的问题，这些方法能够推理帕里克风格条件（例如路径或子树上的基数约束）。
• 通过 MSO 解释，将可判定性结果从无限二叉树推广至更广泛的结构类别，特别是那些在树宽、团宽或划分宽上受限制的结构。
• 使表达性验证逻辑（如带有全局普雷舍伯约束的完全丰富 μ-演算）的可判定性成为可能。

提出的方法

• 提出 ωMSO⋊⋉BAPA，一种扩展 CMSO 的逻辑，引入 BAPA 的集合运算和普雷舍伯算术，以表达复杂的基数和结构约束。
• 引入帕里克-穆勒树自动机（PMTA），一种新颖的自动机模型，它同时推广了穆勒自动机和帕里克自动机，并支持在无限树上测试帕里克条件。
• 设计多步转换，将 ωMSO⋊⋉BAPA 公式转化为受限的树正规形式（TNF），从而实现基于自动机的刻画。
• 建立 TNF 公式与 PMTA 所识别的树语言之间的精确对应关系，证明 PMTA 的空集问题为 PSpace-完全。
• 通过 MSO 解释，将可判定性结果从无限二叉树推广至所有树可解释类，同时在宽度限制下保持可判定性。
• 通过将带有全局普雷舍伯约束的完全丰富 μ-演算中的满足性问题归约为 ωMSO⋊⋉BAPA，证明其可判定性，从而展示该框架的实用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种结合 MSO、BAPA 和普雷舍伯算术的逻辑，使其在无限树上的满足性问题可判定？
• RQ2 是否存在一类新的树自动机，能够识别由无限树上帕里克风格基数约束定义的语言？
• RQ3 能否通过逻辑解释，将无限二叉树上的可判定性结果推广至更广泛的结构类别（如有界树宽或团宽结构）？
• RQ4 将宽度受限的 ωMSO⋊⋉BAPA 与无宽度限制的二元变量逻辑（带计数）耦合，是否仍能保持可判定性？
• RQ5 该框架能否用于推导出表达性模态逻辑（如带有全局普雷舍伯约束的完全丰富 μ-演算）的可判定性结果？

主要发现

• ωMSO⋊⋉BAPA 在标记无限二叉树类上的满足性是可判定的。
• 帕里克-穆勒树自动机（PMTA）的空集问题是可判定的，且为 PSpace-完全。
• ωMSO⋊⋉BAPA 的可判定性在所有树可解释类中均被保留，包括有界树宽、团宽或划分宽的有限或可数结构。
• 该逻辑可与无宽度限制的二元变量逻辑（带计数）耦合，同时保持可判定性。
• 带有全局普雷舍伯约束的完全丰富 μ-演算的温和满足性问题可判定，因其可归约为有界树宽结构上 ωMSO⋊⋉BAPA 的满足性问题。