[论文解读] Deciding the Confusability of Words under Tandem Repeats

Yeow Meng Chee, Johan Chrisnata+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Algorithms and Data Compression参考文献 17被引用 11

一句话总结

本论文提出了一种线性时间算法，用于判断在 k ≤ 3 的串联重复下，两个词是否为 ≤k-混淆的，其基础是通过字符串重写和标签系统对混淆性进行的新型表征。主要贡献在于针对 k ≤ 3 的完整决策过程，改进了最优串联重复码大小的上下界，包括长度至 20 的精确值，以及长度 21–30 的递归构造方法。

ABSTRACT

Tandem duplication in DNA is the process of inserting a copy of a segment of DNA adjacent to the original position. Motivated by applications that store data in living organisms, Jain {\em et al.} (2016) proposed the study of codes that correct tandem duplications to improve the reliability of data storage. We investigate algorithms associated with the study of these codes. Two words are said to be ${\le}k$-confusable if there exists two sequences of tandem duplications of lengths at most $k$ such that the resulting words are equal. We demonstrate that the problem of deciding whether two words is ${\le}k$-confusable is linear-time solvable through a characterisation that can be checked efficiently for $k=3$. Combining with previous results, the decision problem is linear-time solvable for $k\le 3$. We conjecture that this problem is undecidable for $k>3$. Using insights gained from the algorithm, we study the size of tandem-duplication codes. We improve the previous known upper bound and then construct codes with larger sizes as compared to the previous constructions. We determine the sizes of optimal tandem-duplication codes for lengths up to twenty, develop recursive methods to construct tandem-duplication codes for all word lengths, and compute explicit lower bounds for the size of optimal tandem-duplication codes for lengths from 21 to 30.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，以确定在长度至多为 k 的串联重复下，两个词是否混淆。
• 利用字符串重写和标签系统，对 k ≤ 3 的混淆性问题进行表征，从而实现线性时间决策。
• 改进最优串联重复码大小的上下界，尤其针对短词长度。
• 提出递归方法，用于生成任意长度的大型串联重复码。
• 计算长度 21 至 30 的最优码大小的确切和显式下界。

提出的方法

• 引入标签系统以追踪串联重复下的结构不变量，从而实现高效的混淆性检查。
• 基于串联重复规则下约化形式的等价性，建立 ≤k-混淆性的表征。
• 采用动态规划方法结合 MaxCliqueDyn，计算长度至 20 的最优码大小。
• 提出依赖于不可约词及其后缀结构的递归构造方法（命题 18）。
• 利用后代锥的交集和形式语言理论分析混淆性，尤其针对 k > 3 的情况。
• 应用信息论中的可表达性和容量概念，评估码的性能和速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 k ≤ 3，是否可以在线性时间内判断两个词在长度至多为 k 的串联重复下的混淆性？
• RQ2 能够纠正长度至多为 k 的串联重复的码的最大大小是多少？此类码如何高效构造？
• RQ3 码大小的上下界之间如何比较？能否为小长度码建立更紧的界？
• RQ4 对于 k > 3，混淆性问题是否可判定？何种结构特性导致无法实现线性时间解法？
• RQ5 能否推导出递归构造方法，以生成任意长度的大型串联重复码？

主要发现

• 基于标签系统和约化形式的表征，≤k-混淆性的判定问题在 k ≤ 3 时可在线性时间内求解。
• 对于长度 1 至 20 的词，确定了最优串联重复码大小的精确值。
• 对于长度 21 至 30，通过递归构造方法计算出码大小的显式下界，最大码大小在长度 30 时达到 2,464,419。
• 新构造方法使长度 21–30 的码速率相比先前构造最高提升 6.74%。
• 命题 4 的上界在长度 ≥11 时优于公式 (1) 的界，且新构造方法超过先前的下界。
• 本文推测，由于结构不变量的失效以及上下文无关语言中交集为空问题的不可判定性，当 k ≥ 4 时，混淆性问题不可判定。