[论文解读] Deciding Word Problems of Semigroups using Finite State Automata

Max Neunhöffer, Markus Pfeiffer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2012

semigroups and automata theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入了rwp-半群——即其词问题可通过有限状态自动机判定的有理词问题半群——使得词问题能够以常数内存、二次时间复杂度求解。主要贡献在于证明了rwp-半群在有限生成子半群、直积以及有限理想扩张下是封闭的，并且在该类中，有限性、群性、幺半群性及自由性等性质是可判定的。

ABSTRACT

We explore a natural class of semigroups that have word problem decidable by finite state automata. Among the main results are invariance of this property under change of generators, invariance under basic algebraic constructions and algebraic properties of these semigroups.

研究动机与目标

• 定义并表征一类半群——rwp-半群——其词问题可通过自由幺半群上生成字母表的有理关系进行判定。
• 建立rwp-半群在常见半群构造（如直积、子半群、添加零元或单位元）下的封闭性。
• 证明在rwp-半群中，有限性、群性、幺半群结构与自由性等结构性质是可判定的。
• 探讨rwp-半群与词超曲半群之间的联系，表明所有rwp-半群均为词超曲半群。
• 研究开放问题，特别是rwp-半群的同构问题，并将其与有理幺半群进行比较。

提出的方法

• 将半群的词问题定义为在其字母表生成的自由幺半群上的有理关系。
• 使用有限状态自动机识别定义词问题的有理关系，从而实现常数内存、二次时间复杂度的判定过程。
• 应用有理关系与可识别语言的封闭性质，证明rwp-半群在子半群、直积及有限理想扩张下的封闭性。
• 利用有理关系在同态下的逆像与交集下封闭的性质，构造编码词问题的上下文无关语言。
• 通过构造上下文无关语言 $ M = \{u\#_1 v\#_2 w^{\mathrm{rev}} \mid (u\pi)(v\pi) = w\pi\} $，证明rwp-半群的词超曲性。
• 通过从有理词问题有效构造词超曲结构，将决策问题（如自由性、群性等）约化为词超曲半群中已知的可判定问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 当半群的词问题由有限生成集上的有理关系定义时，能否高效判定？
• RQ2 哪些半群构造保持有理词问题性质？rwp-半群在这些运算下是否封闭？
• RQ3 能否判定一个rwp-半群是否有限、为群、为幺半群或自由？
• RQ4 rwp-半群是否与Sakarovitch定义的有理幺半群一致？
• RQ5 rwp-半群的同构问题是否不可判定？若是，能否将其约化为已知的不可判定性结果？

主要发现

• rwp-半群的词问题可使用有限状态自动机在常数内存和二次时间复杂度内判定。
• rwp-半群在取有限生成子半群、直积、添加零元或单位元，以及有限理想扩张下是封闭的。
• 每个rwp-半群都是词超曲半群，因为其相关语言 $ M $ 是上下文无关的，且可由有理词问题构造得出。
• 可判定一个rwp-半群是否有限、为群、为幺半群或自由，其中群性可通过有限性测试与穷举验证判定。
• rwp-半群的同构问题仍为开放问题，但极有可能是不可判定的。
• rwp-半群的Green关系是有理关系的交集，暗示其在半群理论中与有理性存在更深层次的结构联系。