[论文解读] Decision problems and profinite completions of groups

Martin R. Bridson|ArXiv.org|Oct 2, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过构造有限生成、剩余有限的群，证明了在投影群论中存在基本的算法不可判定性：这些群的投影完备化同构，但群论性质（如共轭性、同构性与完全性）在算法上不可判定。证明表明，即使投影完备化同构，也不存在算法可判定此类群之间的同构性，并构造了明确的族来编码不可判定问题。

ABSTRACT

We consider pairs of finitely presented, residually finite groups $P\hookrightarrow\G$ for which the induced map of profinite completions $\hat P o \hat\G$ is an isomorphism. We prove that there is no algorithm that, given an arbitrary such pair, can determine whether or not $P$ is isomorphic to $\G$. We construct pairs for which the conjugacy problem in $\G$ can be solved in quadratic time but the conjugacy problem in $P$ is unsolvable. Let $\mathcal J$ be the class of super-perfect groups that have a compact classifying space and no proper subgroups of finite index. We prove that there does not exist an algorithm that, given a finite presentation of a group $\G$ and a guarantee that $\G\in\mathcal J$, can determine whether or not $\G\cong\{1\}$. We construct a finitely presented acyclic group $\H$ and an integer $k$ such that there is no algorithm that can determine which $k$-generator subgroups of $\H$ are perfect.

研究动机与目标

• 研究具有同构投影完备化的群中决策问题的算法复杂度。
• 确定当一个固定群的子群具有同构投影完备化时，其同构性是否可被算法判定。
• 探索在具有紧致分类空间的超完全、剩余有限群中可判定性的极限。
• 构造显式例子，其中共轭问题在一个群中可解而在另一个群中不可解，尽管它们的投影完备化同构。
• 证明存在有限生成的阿基米德群，其k-生成子群的完全性不可判定。

提出的方法

• 利用Bridson-Grunewald构造方法，构建具有同构投影完备化但抽象结构不同构的群。
• 使用Higman型群的递归表示族，将不可判定字问题编码进纤维积中。
• 应用Tietze变换修改表示，以隔离具有特定投影和同调性质的子群。
• 对完全群应用通用中心扩张构造，生成具有受控同调性质的新有限表示群。
• 在有限表示的阿基米德群内构造k-生成子群的递归序列，以编码停机问题。
• 利用投影拓扑和有限商分析，证明投影完备化同构无法检测抽象同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两个有限生成、剩余有限的群具有同构投影完备化时，是否存在算法可判定其是否同构？
• RQ2 给定一个固定有限表示、剩余有限的群Γ及其k-生成子群，若Γ为阿基米德群，是否可判定该子群是否完全？
• RQ3 若两个群的投影完备化同构，是否可能一个群的共轭问题可解而另一个不可解？
• RQ4 是否存在算法可判定属于𝒥类（超完全、紧致分类空间、无真有限指数子群）的有限表示群是否平凡？
• RQ5 能否构造一个子群的递归序列，使得其完备化的投影同构类型不可判定？

主要发现

• 存在有限生成、剩余有限的群P ⊂ Γ，使得投影完备化映射ĥP → ĥΓ是同构，但P中的共轭问题不可判定，而Γ中的共轭问题可在二次时间内求解。
• 不存在算法可判定有限生成子群P ⊂ Γ是否与Γ抽象同构，即使ĥP → ĥΓ是同构。
• 对于固定的有限表示、剩余有限群Γ和固定的k，存在k-生成子群Kn ⊂ Γ的递归序列，使得没有算法可判定对哪些n有ĥKn → ĥΓ是同构。
• 存在有限表示的阿基米德群H和整数k，使得没有算法可判定H的哪些k-生成子群是完全的。
• 不存在算法可判定属于𝒥类（超完全、紧致分类空间、无真有限指数子群）的有限表示群是否平凡。
• 即使P和Γ均为有限生成且剩余有限，ĥP → ĥΓ是同构也并不意味着P与Γ同构。