[论文解读] Decision Problems for Additive Regular Functions

Rajeev Alur, Mukund Raghothaman|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

semigroups and automata theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文解决了加法代价寄存器自动机（ACRA）的两个基本决策问题：通过引入一种新颖的寄存器可分性概念，对寄存器复杂度进行了表征，并证明了其计算为 PSPACE 完全；此外，本文还证明了在非负整数代价下，交替 ACRA 游戏中的可达性问题是 EXPTIME 完全的，但在整数代价下则为不可判定问题，从而为这两个问题建立了紧致的复杂度界限。

ABSTRACT

Additive Cost Register Automata (ACRA) map strings to integers using a finite set of registers that are updated using assignments of the form "x := y + c" at every step. The corresponding class of additive regular functions has multiple equivalent characterizations, appealing closure properties, and a decidable equivalence problem. In this paper, we solve two decision problems for this model. First, we define the register complexity of an additive regular function to be the minimum number of registers that an ACRA needs to compute it. We characterize the register complexity by a necessary and sufficient condition regarding the largest subset of registers whose values can be made far apart from one another. We then use this condition to design a PSPACE algorithm to compute the register complexity of a given ACRA, and establish a matching lower bound. Our results also lead to a machine-independent characterization of the register complexity of additive regular functions. Second, we consider two-player games over ACRAs, where the objective of one of the players is to reach a target set while minimizing the cost. We show the corresponding decision problem to be EXPTIME-complete when costs are non-negative integers, but undecidable when costs are integers.

研究动机与目标

• 确定实现给定加法正则函数所需的最少寄存器数量，类似于 DFA 中的状态最小化。
• 通过一种新的结构性质——寄存器可分性，以机器无关的方式表征 ACRA 的寄存器复杂度。
• 分析在 ACRA 上的两人游戏中的可达性问题的复杂度，其中目标是最小化达到目标状态的代价。
• 在不同代价模型（非负整数与整数）下，为交替 ACRA 游戏中的可达性问题建立紧致的复杂度界限。

提出的方法

• 引入寄存器的 k-可分性概念，即通过字符串输入可使 k 个寄存器中的值在数值上任意远离。
• 证明：当且仅当其寄存器是 k-可分时，ACRA 才需要至少 k 个寄存器来计算某个函数。
• 通过分析字符串前缀和后缀上的值差，设计了一种 PSPACE 算法来判定 k-可分性。
• 将寄存器复杂度问题约化为有界域上的无量词整数线性规划问题。
• 将交替 ACRA 游戏建模为两人可达性游戏，其中玩家选择影响寄存器更新，并以最小化代价为目标。
• 通过将双计数机的停机问题约化到 ACRA 游戏中的可达性问题，证明了在整数代价下的不可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何 ACRA 计算给定加法正则函数所需的最少寄存器数量是多少？
• RQ2 能否通过函数的结构性质，以机器无关的方式表征寄存器复杂度？
• RQ3 对于给定的 ACRA，确定寄存器复杂度的计算复杂度是多少？
• RQ4 当代价为整数时，交替 ACRA 游戏中的可达性问题是否可判定？
• RQ5 当代价被限制为非负整数时，可达性问题的复杂度如何变化？

主要发现

• ACRA 的寄存器复杂度由 k-可分性表征：当且仅当其寄存器是 k-可分时，该函数才需要至少 k 个寄存器。
• 给定 ACRA 的寄存器复杂度计算是 PSPACE 完全的，其下界通过从量化布尔公式求值问题约化得到。
• 通过涉及字符串、环路和系数向量的泵送风格引理，提供了寄存器复杂度的机器无关表征。
• 当代价为非负整数时，交替 ACRA 游戏中的可达性问题是 EXPTIME 完全的。
• 当代价为整数时，可达性问题变为不可判定，该结果通过从双计数机停机问题的约化得到证明。
• 即使在预算为 0 的策略下，该不可判定性结果依然成立，表明在一般整数代价情况下，任何有限策略树都无法编码获胜路径。