[论文解读] Decodable quantum LDPC codes beyond the √n distance barrier using high dimensional expanders.

Shai Evra, Tali Kaufman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用 5

一句话总结

该论文通过利用高维展开图，特别是拉马努金复形，结合经典展开图码与张量化技术，构建了最小距离超过√n的量子LDPC码。它利用三维复形实现了n^{1/2}log n的最小距离，并首次提出了超越√n距离壁垒的多项式时间解码算法。

ABSTRACT

Constructing quantum LDPC codes with a minimum distance that grows faster than a square root of the length has been a major challenge of the field. With this challenge in mind, we investigate constructions that come from high-dimensional expanders, in particular Ramanujan complexes. These naturally give rise to very unbalanced quantum error correcting codes that have a large $X$-distance but a much smaller $Z$-distance. However, together with a classical expander LDPC code and a tensoring method that generalises a construction of Hastings and also the Tillich-Zemor construction of quantum codes, we obtain quantum LDPC codes whose minimum distance exceeds the square root of the code length and whose dimension comes close to a square root of the code length. When the ingredient is a 3-dimensional Ramanujan complex, we show that its 2-systole behaves like a square of the log of the complex size, which results in an overall quantum code of minimum distance $n^{1/2}\log n$, and sets a new record for quantum LDPC codes. When we use a 2-dimensional Ramanujan complex, or the 2-skeleton of a 3-dimensional Ramanujan complex, we obtain a quantum LDPC code of minimum distance $n^{1/2}\log^{1/2}n$. We then exploit the expansion properties of the complex to devise the first polynomial time algorithm that decodes above the square root barrier for quantum LDPC codes.

研究动机与目标

• 为克服量子LDPC码构造中长期存在的√n距离壁垒。
• 开发一种构建最小距离增长快于√n的量子LDPC码的方法。
• 设计一种多项式时间解码算法，能够纠正超过√n阈值的错误。
• 利用高维展开图，特别是拉马努金复形，以实现更优的码参数。
• 证明三维拉马努金复形的2-上同调数（2-systole）按(log n)^2缩放，从而实现更优的码距离。

提出的方法

• 利用三维和二维拉马努金复形作为几何结构，生成具有大X距离的极不平衡量子码。
• 通过受哈斯廷斯及蒂利奇-泽莫尔启发的张量化构造，将复形生成的量子码与经典展开图LDPC码结合。
• 应用广义张量化方法平衡X与Z距离，从而获得最小距离更优的码。
• 利用拉马努金复形的谱性质与展开性质，确保强纠错性能。
• 利用复形的高圈长与展开性，设计适用于超越√n距离限制的码的多项式时间解码算法。
• 分析复形的2-上同调数，推导码距离的定量界，表明其按(log n)^2缩放。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用高维展开图构造最小距离超过√n的量子LDPC码？
• RQ2 拉马努金复形的展开性与几何性质如何影响所生成量子码的距离与维数？
• RQ3 能否为超越√n距离壁垒的量子LDPC码设计多项式时间解码算法？
• RQ4 2-上同调数在决定源自拉马努金复形的量子码最小距离中起什么作用？
• RQ5 当使用三维与二维拉马努金复形时，量子码的维数相对于码长如何变化？

主要发现

• 该构造利用三维拉马努金复形实现了最小距离为n^{1/2}log n的量子LDPC码，创下新纪录。
• 对于二维拉马努金复形或三维复形的2-骨架，最小距离达到n^{1/2}log^{1/2}n。
• 三维拉马努金复形的2-上同调数按(log n)^2缩放，直接促成距离缩放的改善。
• 所提出的张量化方法成功平衡了X与Z距离，使得码同时具备高距离与非平凡维数。
• 本文首次提出适用于超越√n距离壁垒的量子LDPC码的多项式时间解码算法。
• 所得量子码的维数趋近于√n，因此在速率与距离权衡上近乎最优。