[论文解读] Decoding quantum Tanner codes

Anthony Leverrier, Gilles Zémor|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文提出了量子塔纳尔码的串行与并行译码器，可在线性或对数时间内可证明地纠正与码长线性相关的任意错误。译码器被适配至扩展提升乘积码，并依赖于鲁棒局部码与谱膨胀特性，以确保渐近良好的性能。

ABSTRACT

We introduce sequential and parallel decoders for quantum Tanner codes. When the Tanner code construction is applied to a sufficiently expanding square complex with robust local codes, we obtain a family of asymptotically good quantum low-density parity-check codes. In this case, our decoders provably correct arbitrary errors of weight linear in the code length, respectively in linear or logarithmic time. The same decoders are easily adapted to the expander lifted product codes of Panteleev and Kalachev. Along the way, we exploit recently established bounds on the robustness of random tensor codes to give a tighter bound on the minimum distance of quantum Tanner codes.

研究动机与目标

• 设计高效的量子塔纳尔码译码器，可在实际时间内纠正线性权重的任意错误。
• 为基于扩展正方形复形与鲁棒局部码构造的量子LDPC码建立可证明的译码保证。
• 将小集翻转译码框架适配至量子塔纳尔码与扩展提升乘积码，以实现高度并行化。
• 利用近期关于张量码鲁棒性的结果，收紧量子塔纳尔码最小距离的界。
• 通过确保译码器在对数时间内运行，实现容错量子计算，匹配量子硬件中的错误累积速率。

提出的方法

• 提出一种受小集翻转算法启发的串行译码器，通过利用与正方形复形2-面关联的量子比特上的局部码约束，将其适配至量子塔纳尔码的结构。
• 引入一种并行译码器，同时应用多个校正步骤，模拟参数为1/2的串行更新效果，实现对数时间收敛。
• 利用谱膨胀与局部码的鲁棒性（通过张量码界）确保每步校正可使失配向量减少为常数因子。
• 通过失配向量分析与鲁棒性不等式，界定每步校正后残余错误的范数，确保收敛性。
• 应用引理17与定理12，控制错误传播，并在足够膨胀与鲁棒性下保证在对数时间内终止。
• 通过利用扩展提升乘积码与量子塔纳尔码在结构上的相似性，将译码器适配至扩展提升乘积码，采用相同的译码框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出可在亚线性时间内纠正线性权重任意错误的量子塔纳尔码译码器？
• RQ2 在何种条件下，基于的正方形复形与局部码可确保译码器在对数时间内收敛？
• RQ3 如何利用局部张量码的鲁棒性来收紧量子塔纳尔码最小距离的界？
• RQ4 在保持纠错保证的前提下，小集翻转译码策略在多大程度上可实现并行化？
• RQ5 相同的译码框架能否应用于扩展提升乘积码，并实现类似的性能保证？

主要发现

• 串行译码器可在时间线性内可证明地纠正任意权重不超过 $ \frac{1}{2^{12}} \min\left(\frac{\varepsilon^3}{16}, \kappa\right) \delta^2 \kappa^2 \frac{n}{\Delta} $ 的错误。
• 并行译码器可在对数时间内纠正同阶错误，与容错量子计算中的错误累积速率相匹配。
• 量子塔纳尔码的最小距离下界为 $ \Omega(\delta^2 \kappa^2 n) $，相较于先前估计，利用更紧的张量码鲁棒性界得到改进。
• 译码器每步使失配向量范数减少为 $ (1 - \varepsilon) $ 倍，确保在所述误差阈值下收敛。
• 该框架可直接应用于Panteleev与Kalachev的扩展提升乘积码，将其适用范围扩展至更广泛的渐近良好量子LDPC码类。
• 分析表明，总校正误差被限制在 $ \frac{10}{\kappa} |\mathbf{e}| $ 以内，当 $ |\mathbf{e}| \leq \frac{\kappa^3 \delta^2}{2^{12}} \frac{n}{\Delta} $ 时，最终误差低于最小距离。