[论文解读] Decomposability of local determinantal representations of hypersurfaces

Dmitry Kerner, Victor Vinnikov|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文建立了对可约超曲面奇点的局部行列式表示可分解性的必要且充分条件，特别关注行列式可约的情形。研究证明，极大生成与饱和的行列式矩阵——在代数几何与交换代数中常见——具有强可分解性条件，其在等价关系下可化为显式的分块上三角或分块对角标准形。

ABSTRACT

Let M be a matrix whose entries are power series in several variables and determinant det(M) does not vanish identically. The equation det(M)=0 defines a hypersurface singularity and the (co)-kernel of M is a maximally Cohen-Macaulay module over the local ring of this singularity. Suppose the determinant det(M) is reducible, i.e. the hypersurface is locally reducible. A natural question is whether the matrix is equivalent to a block-diagonal or at least to an upper-block-triangular. (Or whether the corresponding module is decomposable or at least is an extension.) We give various necessary and sufficient criteria. Two classes of such matrices of functions appear naturally in the study of decomposability: those with many generators (e.g. maximally generated or Ulrich maximal) and those that descend from birational modifications of the hypersurface by pushforwards (i.e. correspond to modules over bigger rings). Their properties are studied.

研究动机与目标

• 确定可约超曲面奇点的局部行列式表示何时可分解或为模的扩张。
• 分析极大生成或源自奇点双有理变换的行列式矩阵的结构。
• 在局部等价关系下，为这类矩阵提供显式的标准形，特别关注平面曲线的情形。
• 基于代数与几何时不变量，建立矩阵等价于分块对角或上分块三角形式的条件。
• 将可分解性与伴随矩阵的性质及奇点变换下的相对理想条件相联系。

提出的方法

• 使用局部等价关系 $\mathcal{M} \sim A\mathcal{M}B$，其中 $A,B \in GL(d, \mathcal{O}_{(k^n,0)})$，对矩阵进行可逆变换下的分类。
• 应用伴随矩阵 $\mathcal{M}^\vee$，满足 $\mathcal{M} \mathcal{M}^\vee = \det(\mathcal{M}) \cdot \mathbf{1}$，以分析结构与可分解性。
• 引入极大生成行列式表示的概念，其中 $\operatorname{corank}(\mathcal{M}|_0) = \operatorname{mult}(X,0)$，以识别可应用强条件的特殊类。
• 研究源自双有理变换 $\nu: (X',0) \to (X,0)$ 的上推的饱和行列式表示，将可分解性与拉回模的结构相联系。
• 通过列与行运算（如上三角矩阵的共轭）将条目约化为具有受控 $x_2$-阶与次数约束的正规形式。
• 应用相对伴随理想条件 $\operatorname{Adj}_{(X',0)/(X,0)}$ 来刻画可分解性，特别关注切向分解的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个可约超曲面奇点的局部行列式表示等价于分块对角矩阵？
• RQ2 在何种条件下，行列式矩阵等价于上分块三角矩阵，对应于模的扩张？
• RQ3 极大生成或饱和行列式表示在可分解性准则下如何表现？
• RQ4 相对伴随理想在判断矩阵是否源自双有理变换且可分解中起何作用？
• RQ5 对于具有多个切线的平面曲线，极大生成行列式表示可实现何种显式标准形？

主要发现

• 当且仅当相对伴随理想 $\operatorname{Adj}_{(X',0)/(X,0)}$ 由 $\det(\mathcal{M})$ 的不可约因式 $f_i$ 生成时，行列式表示完全可分解。
• 对于平面曲线的极大生成行列式表示，矩阵等价于对角元为 $f_i$ 的上三角形式，且非对角元满足阶与次数约束。
• 若非对角元 $\mathcal{M}_{i,i+1}$ 的 $x_2$-阶至少为 $\min(l_i, l_{i+1})$，则可通过初等行与列运算将其消去。
• 剩余非零非对角元可通过适当对角矩阵 $U$ 的共轭运算归一化为 $x^{n_i}$ 的形式，其中 $n_i < \min(l_i, l_{i+1})$。
• 对于曲线 $\{y(y^2 - x^{2l+1}) = 0\}$，所有极大生成行列式表示等价于由 $H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(m-2)) \times H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2l-m))/\sim$ 参数化的矩阵，表明存在表示的模空间。
• 此类表示的空间是有限维的，由指定次数的齐次多项式参数化，模去标量倍数，且条目具有显式的次数上界。