[论文解读] Decomposability of orthogonal involutions in degree 12

Anne Quéguiner-Mathieu, Jean-Pierre Tignol|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 17被引用 1

一句话总结

本文为具有平凡判别式与平凡克莱夫不变量的12次中心单代数上的正交对合建立了张量分解，表明其可分解为一个四元数代数与一个具有正交对合的6次代数的张量积。该结果扩展了普菲斯特关于二次型的经典结果，并实现了f3不变量的上同调计算，提供了此类对合存在的判别准则，以及f3(σ)关于分解分量不变量的表达式。

ABSTRACT

A theorem of Pfister asserts that every $12$-dimensional quadratic form with trivial discriminant and trivial Clifford invariant over a field of characteristic different from $2$ decomposes as a tensor product of a binary quadratic form and a $6$-dimensional quadratic form with trivial discriminant. The main result of the paper extends Pfister's result to orthogonal involutions: every central simple algebra of degree $12$ with orthogonal involution of trivial discriminant and trivial Clifford invariant decomposes into a tensor product of a quaternion algebra and a central simple algebra of degree $6$ with orthogonal involutions. This decomposition is used to establish a criterion for the existence of orthogonal involutions with trivial invariants on algebras of degree $12$, and to calculate the $f_3$-invariant of the involution if the algebra has index $2$.

研究动机与目标

• 将普菲斯特关于12维二次型且具有平凡不变量的分解定理，推广至12次中心单代数上的正交对合。
• 建立在12次代数上具有平凡判别式与平凡克莱夫不变量的正交对合存在的判别准则。
• 利用新分解方法，计算此类对合的f3上同调不变量，尤其当代数的指标≤2时。

提出的方法

• 利用6次单位对合的下降定理，构造12次代数上正交对合的张量分解。
• 通过分解 (A, σ) ≃ (A₀, σ₀) ⊗ (H, ρ) 表示该对合，其中H为四元数代数，(A₀, σ₀)为具有正交对合的6次代数。
• 对分解群中四元数代数的范数形式之和应用广义阿腊松不变量e3。
• 利用格罗滕迪克-怀特尼群中的恒等式与上同调关系，推导出f3(σ)关于分量不变量的表达式。
• 利用关系 [Q] + [H] + [H′] = 0 确保形式 nQ − nH − ⟨d⟩nH′ 属于 I³F，从而定义 f3(σ) ∈ H³(F, μ₂)。
• 在分裂条件下，建立 f3(σ) 与 (de) · [Q] 或 (de) · [H′] 的等价性，提供可计算的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 普菲斯特对12维二次型（具有平凡不变量）的分解是否可推广至12次中心单代数上的正交对合？
• RQ2 在何种条件下，12次代数上存在具有平凡判别式与平凡克莱夫不变量的正交对合？
• RQ3 如何从其张量分解计算此类对合的f3上同调不变量？
• RQ4 分解 (A, σ) ≃ (A₀, σ₀) ⊗ (H, ρ) 是否允许对f3(σ)进行统一计算？在何种条件下f3(σ)为零？

主要发现

• 任意具有平凡判别式与平凡克莱夫不变量的12次中心单代数上的正交对合，均可分解为一个具有正交对合的四元数代数与一个具有正交对合的6次中心单代数的张量积。
• 该分解提供了此类对合存在的判别准则：若F上双四元数代数D满足F的2-上同调维数≤2，则M₃(D)上存在此类对合。
• 该对合的f3不变量为 f3(σ) = e3(nQ − nH − ⟨d⟩nH′) ∈ H³(F)，其中d为四元数因子的判别式，H、H′、Q为布列安等价的四元数代数。
• 当基代数的指标≤2时，有 f3(σ) = (de) · [Q] = (de) · [H′]，其中e为满足H = (c, e)的参数，且c分裂Q、H、H′。
• 当A分裂、A₀分裂或A₀被F(√d₀)分裂时，不变量f3(σ)为零，提供了明确的零化条件。
• 该公式允许从分解中显式计算f3(σ)，并表明当四元数因子分裂时，f3(σ)不一定为零。