[论文解读] Decomposing Baire class 1 functions into continuous functions

Saharon Shelah, Juris Steprāns|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 1994

Anomaly Detection Techniques and Applications参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文研究了分解任意 Baire 第1类函数所需的最少连续函数数量，证明了基数不变量 dec（该最小数量）可以严格小于 d（支配数）。通过在 CH 模型上使用 Miller 实数进行力迫，作者构造了一个满足 dec < d 的模型，证明了链式不等式 cov(Meager) ≤ dec ≤ d 中严格不等式的相容性。

ABSTRACT

Let dec be the least cardinal kappa such that every function of first Baire class can be decomposed into kappa continuous functions. Cichon, Morayne, Pawlikowski and Solecki proved that cov(Meager) &lt;= dec &lt;= d and asked whether these inequalities could, consistently, be strict. By cov(Meager) is meant the least number of closed nowhere dense sets required to cover the real line and by d is denoted the least cardinal of a dominating family in omega^omega. Steprans showed that it is consistent that cov(Meager) not= dec. In this paper we show that the second inequality can also be made strict. The model where dec is different from d is the one obtained by adding omega_2 Miller - sometimes known as super-perfect or rational-perfect - reals to a model of the Continuum Hypothesis. It is somewhat surprising that the model used to establish the consistency of the other inequality, cov(Meager) not= dec, is a slight modification of the iteration of super-perfect forcing.

研究动机与目标

• 确定不等式 dec < d 的一致性强度，其中 dec 是分解任意 Baire 第1类函数所需的最少连续函数数量。
• 研究链式不等式 cov(Meager) ≤ dec ≤ d 中上界是否可以严格化，特别关注第二个不等式。
• 通过在连续统假设模型上使用 Miller 实数进行力迫，构造一个 dec 严格小于 d 的模型。
• 阐明连续统的组合基数不变量与 Baire 第1类函数分解之间的关系。

提出的方法

• 在连续统假设模型上添加 ω₂ 个 Miller 实数，构造力迫扩张。
• 利用 Miller 力迫的性质，保持某些基数不变量不变，同时改变其他不变量，特别是 d 和 dec。
• 分析 Baire 第1类函数的结构及其作为连续函数逐点极限的表示方式。
• 证明在所得模型中，每个 Baire 第1类函数均可分解为少于 d 个连续函数。
• 利用已知的 cov(Meager) 与 d 的结果，分离出新模型中 dec 的行为。
• 应用力迫论证表明 d 保持较大（等于 ω₂），而 dec 变小，从而实现 dec < d。

实验结果

研究问题

• RQ1 不等式 dec < d 是否可以在集合论模型中一致成立？
• RQ2 是否可以构造一个模型，使得分解任意 Baire 第1类函数所需的最少连续函数数量严格小于支配数 d？
• RQ3 添加 Miller 实数对基数不变量 dec 与 d 的影响如何比较？
• RQ4 在力迫扩张中，覆盖疏空集的数目（cov(Meager)）与分解数 dec 之间存在何种关系？
• RQ5 是否可以为链式不等式 cov(Meager) ≤ dec ≤ d 中的两个不等式都建立严格不等式的相容性？

主要发现

• 本文通过在 CH 模型上使用 Miller 实数进行力迫，构造了一个满足 dec < d 的模型，证明了该严格不等式的相容性。
• 在所构造的模型中，支配数 d 保持等于 ω₂，而分解数 dec 严格更小。
• 该结果表明链式不等式 cov(Meager) ≤ dec ≤ d 中的上界可以严格化，回答了 Cichon、Morayne、Pawlikowski 和 Solecki 提出的问题。
• 用于分离 dec 与 d 的模型是对超完美力迫迭代的微小修改，该方法此前曾用于分离 cov(Meager) 与 dec。
• 该构造证实，基数不变量 dec 不一定等于 d，即使在具有强力迫性质的模型中也是如此。
• 本文确立了 dec ≠ d 的一致性，扩展了关于这两个基数不变量独立性的早期结果。