[论文解读] Decomposing Coverings and the Planar Sensor Cover Problem

Matt Gibson, Kasturi Varadarajan|ArXiv.org|May 7, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 11被引用 13

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，针对传感器范围为凸多边形平移的平面传感器覆盖问题，实现了常数因子近似。通过首先解决一种一维变体——受限条带覆盖（RSC）问题，并提出一种新颖的O(1)-近似算法，作者将结果推广至高维情形，证明了任意由凸多边形平移构成的k重覆盖可被分解为Ω(k)个覆盖，显著优于以往的对数界限。

ABSTRACT

We show that a $k$-fold covering using translates of an arbitrary convex polygon can be decomposed into $Ω(k)$ covers (using an efficient algorithm). We generalize this result to obtain a constant factor approximation to the sensor cover problem where the ranges of the sensors are translates of a given convex polygon. The crucial ingredient in this generalization is a constant factor approximation algorithm for a one-dimensional version of the sensor cover problem, called the Restricted Strip Cover (RSC) problem, where sensors are intervals of possibly different lengths. Our algorithm for RSC improves on the previous $O(\log \log \log n)$ approximation.

研究动机与目标

• 解决传感器范围由凸多边形定义、且传感器具有不同持续时间的几何场景下的传感器覆盖问题。
• 改进以往针对受限条带覆盖（RSC）问题的O(log log log n)近似界。
• 为具有凸多边形范围的平面传感器覆盖问题建立常数因子近似解。
• 证明任意由凸多边形平移构成的k重覆盖可被高效算法分解为Ω(k)个覆盖。
• 通过证明任意凸多边形均可实现该分解且常数因子与多边形复杂度无关，解决长期悬而未决的覆盖可分解性问题。

提出的方法

• 设计一种新的受限条带覆盖（RSC）问题算法，通过基于覆盖间隙和关键坐标处支配关系的迭代调度传感器，实现1/5-近似。
• 采用贪心策略：根据哪种选择能更好地保持边界区域的长期覆盖，选择向右或向左支配未覆盖区间的传感器。
• 引入支配准则：若一个传感器在覆盖某一点的所有活跃传感器中向右延伸最远，则其支配该点右侧的坐标。
• 将RSC算法作为子程序，推广至具有凸多边形范围的二维平面传感器覆盖问题。
• 证明实例的负载（任意点处的最小总持续时间）是最优调度持续时间的常数因子下界。
• 通过仔细但机械地将一维情形的证明技术扩展至二维情形，利用凸多边形及其平移的几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 受限条带覆盖（RSC）问题能否实现常数因子近似，从而改进先前的O(log log log n)界？
• RQ2 能否设计一种高效算法，将平面上由凸多边形平移构成的k重覆盖分解为Ω(k)个互不相交的覆盖？
• RQ3 具有凸多边形传感器范围的平面传感器覆盖问题，其近似解是否相对于实例负载可实现常数因子近似？
• RQ4 覆盖可分解性猜想能否被强化，以对所有凸多边形均给出与边数无关的统一常数因子？
• RQ5 当传感器范围为任意凸多边形时，传感器覆盖问题的最佳可能近似比是多少？

主要发现

• 所提出的受限条带覆盖（RSC）问题算法实现了1/5-近似，显著优于先前的O(log log log n)界。
• 该算法时间复杂度为O(n²)，采用基于支配关系和覆盖间隙的贪心迭代调度策略。
• 本文证明：任意由凸多边形平移构成的k重覆盖可被分解为Ω(k)个覆盖，其中常数因子仅依赖于多边形本身。
• 针对具有凸多边形范围的平面传感器覆盖问题，作者提出了一种多项式时间算法，其近似比相对于负载L为常数因子。
• 该结果推广了针对三角形和中心对称多边形的先前工作，将Ω(k)分解推广至所有凸多边形。
• 关键技术突破在于将RSC算法作为子程序，从而在二维几何设置中实现常数因子近似。