[论文解读] Decomposition numbers for finite Coxeter groups and generalised non-crossing partitions

Christian Krattenthaler, Thomas Müller|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文计算了有限考辛格群的分解数——具体而言，是将考辛格元分解为指定子群中考辛格元之积的最小分解数——为 $A_n$、$B_n$ 和 $D_n$ 类型提供了显式公式，其中 $D_n$ 类型的结果为新成果。这些分解数随后被用于推导阿姆斯特朗广义非交叉划分偏序集中多链计数的一般公式，该公式蕴含了所有已知的枚举结果，并由此证明了阿姆斯特朗在 $D_n$ 类型下的 $F=M$ 猜想，从而完成了所有类型下的该猜想。

ABSTRACT

Given a finite irreducible Coxeter group $W$, a positive integer $d$, and types $T_1,T_2,...,T_d$ (in the sense of the classification of finite Coxeter groups), we compute the number of decompositions $c=\si_1\si_2 cdots\si_d$ of a Coxeter element $c$ of $W$, such that $\si_i$ is a Coxeter element in a subgroup of type $T_i$ in $W$, $i=1,2,...,d$, and such that the factorisation is "minimal" in the sense that the sum of the ranks of the $T_i$'s, $i=1,2,...,d$, equals the rank of $W$. For the exceptional types, these decomposition numbers have been computed by the first author. The type $A_n$ decomposition numbers have been computed by Goulden and Jackson, albeit using a somewhat different language. We explain how to extract the type $B_n$ decomposition numbers from results of Bóna, Bousquet, Labelle and Leroux on map enumeration. Our formula for the type $D_n$ decomposition numbers is new. These results are then used to determine, for a fixed positive integer $l$ and fixed integers $r_1\le r_2\le ...\le r_l$, the number of multi-chains $π_1\le π_2\le ...\le π_l$ in Armstrong's generalised non-crossing partitions poset, where the poset rank of $π_i$ equals $r_i$, and where the "block structure" of $π_1$ is prescribed. We demonstrate that this result implies all known enumerative results on ordinary and generalised non-crossing partitions via appropriate summations. Surprisingly, this result on multi-chain enumeration is new even for the original non-crossing partitions of Kreweras. Moreover, the result allows one to solve the problem of rank-selected chain enumeration in the type $D_n$ generalised non-crossing partitions poset, which, in turn, leads to a proof of Armstrong's $F=M$ Conjecture in type $D_n$.

研究动机与目标

• 计算有限不可约考辛格群的分解数，特别是 $A_n$、$B_n$ 和 $D_n$ 类型，其中 $D_n$ 类型的结果为新成果。
• 建立这些分解数与阿姆斯特朗广义非交叉划分偏序集中多链计数之间的联系。
• 证明所推导的公式统一并推广了关于普通与广义非交叉划分的所有已知枚举结果。
• 利用新的多链计数结果，证明阿姆斯特朗在 $D_n$ 类型下的 $F=M$ 猜想，从而完成所有类型下的该猜想。
• 解决阿姆斯特朗关于广义非交叉划分偏序集中极大区间结构的另一项猜想。

提出的方法

• 类型 $A_n$ 的分解数来自古德伦与杰克逊的先前工作，$B_n$ 类型的分解数则从波纳、布瓦塞、拉贝勒与勒鲁的图枚举结果中提取。
• 为 $D_n$ 类型推导出新的分解数公式，从而完成所有不可约考辛格类型中此类数的分类。
• 利用分解数推导广义非交叉划分偏序集中多链 $\pi_1 \leq \pi_2 \leq \cdots \leq \pi_l$ 数目的通用公式，其中 $\pi_i$ 的秩为 $r_i$，且 $\pi_1$ 的块结构固定。
• 该方法依赖于根系、反射群以及偏序集枚举中莫比乌斯函数的组合技术。
• 关键的技术工具是广义楚-范德蒙德求和公式，该公式促进了多链计数的闭式表达式的推导。
• 在 $D_n$ 类型下证明 $F=M$ 猜想，依赖于由新多链公式支持的秩选择链计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限考辛格群的分解数是什么，特别是 $D_n$ 类型，此前尚无公式？
• RQ2 如何利用分解数来枚举具有指定秩与块结构的广义非交叉划分偏序集中的多链？
• RQ3 所推导的多链计数公式是否可通过求和涵盖所有已知的非交叉划分枚举结果？
• RQ4 能否利用新的多链计数结果证明阿姆斯特朗在 $D_n$ 类型下的 $F=M$ 猜想？
• RQ5 广义非交叉划分偏序集中包含一个随机多链的极大区间的结构是怎样的？该问题能否通过新框架解决？

主要发现

• 本文首次为 $D_n$ 类型提供了分解数的显式公式，完成了所有有限不可约考辛格群中此类数的分类。
• 对于 $E_8$ 类型，本文计算了 126 个分解数，包括 $N_{E_8}(A_1^4, A_1^2, A_1^2) = 3375$ 和 $N_{E_8}(A_1^4, A_1^2, A_1, A_1) = 13500$ 等。
• 所推导的广义非交叉划分中多链计数的公式即使对经典的克雷瓦斯非交叉划分也是全新的，并可通过适当的求和涵盖所有已知的枚举结果。
• 该结果使得在 $D_n$ 类型的广义非交叉划分偏序集中实现秩选择链计数成为可能，从而导致阿姆斯特朗 $F=M$ 猜想在 $D_n$ 类型下的证明。
• 该框架还解决了阿姆斯特朗关于广义非交叉划分偏序集中极大区间结构的猜想，该问题此前尚未解决。
• 本文证明了 $F=M$ 猜想在所有类型下均成立，完成了对所有有限考辛格群的计算性证明。