[论文解读] Decomposition of Multi-controlled Special Unitary Single-Qubit Gates

Rafaella Vale, Thiago Melo D. Azevedo+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型的n量子比特多控制特殊酉（SU(2)）门分解方法，将CNOT门数量从先前的最先进水平28n减少至20n，当SU(2)门至少有一个实数对角线元素时，进一步减少至16n。该方法基于无需辅助量子比特的酉矩阵分解框架，显著降低了量子算法的电路深度和门数。

ABSTRACT

Multi-controlled unitary gates have been a subject of interest in quantum computing since its inception, and are widely used in quantum algorithms. The current state-of-the-art approach to implementing n-qubit multi-controlled gates involves the use of a quadratic number of single-qubit and CNOT gates. However, linear solutions are possible for the case where the controlled gate is a special unitary SU(2). The most widely-used decomposition of an n-qubit multi-controlled SU(2) gate requires a circuit with a number of CNOT gates proportional to 28n. In this work, we present a new decomposition of n-qubit multi-controlled SU(2) gates that requires a circuit with a number of CNOT gates proportional to 20n, and proportional to 16n if the SU(2) gate has at least one real-valued diagonal. This new approach significantly improves the existing algorithm by reducing the number of CNOT gates and the overall circuit depth. As an application, we show the use of this decomposition for sparse quantum state preparation. Our results are further validated by demonstrating a proof of principle on a quantum device accessed through quantum cloud services.

研究动机与目标

• 减少近场量子设备中多控制SU(2)量子电路的CNOT门数量和电路深度。
• 克服现有分解方法中依赖计算酉算子高阶根所导致的数值不稳定性问题。
• 开发一种避免使用辅助量子比特的同时保持线性门数扩展的分解方案。
• 提升需要多控制单量子比特操作的量子算法的效率，例如稀疏态制备。
• 通过基于云的量子服务在真实量子硬件上验证所提出的方法。

提出的方法

• 提出一种基于[8]的酉矩阵分解方法，对n量子比特多控制SU(2)门进行新型分解，无需辅助量子比特。
• 采用数学框架将受控酉矩阵分解为单量子比特门和受控相位门的序列，以最小化CNOT门使用。
• 引入SU(2)矩阵的参数化方法，利用实数对角线元素的对称性，进一步减少门数。
• 通过目标酉矩阵的实部与虚部分量，推导出分解参数的闭式表达式，避免数值开根运算。
• 应用递归分解策略，逐步减少控制量子比特数量，同时保持控制数的线性扩展。
• 通过仿真验证电路设计，并在IBM Quantum云设备上实现，确认其实际可行性与抗误差能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不使用辅助量子比特的前提下，能否将n量子比特多控制SU(2)门的CNOT门数量降低至当前28n的阈值以下？
• RQ2 利用SU(2)矩阵中至少一个实数对角线元素，能否进一步减少CNOT门数量，若能，减少程度如何？
• RQ3 所提出的分解方法能否避免依赖计算酉算子$2^n$-次根（如$\sqrt[2^n]{U}$）的方法中固有的数值误差？
• RQ4 与[10]、[11]和[12]等现有方法相比，该方法在电路深度和门数方面表现如何？
• RQ5 该分解方法在多大程度上可提升稀疏量子态制备等量子算法的效率？

主要发现

• 所提出的分解方法将一般多控制SU(2)门的CNOT门数量最多减少至$20n - 38$，优于先前的$28n - 88$（偶数n）或$28n - 92$（奇数n）的CNOT门数。
• 对于至少有一个实数对角线元素的SU(2)门，该方法可进一步将CNOT门数减少至最多$16n - 40$。
• 该方法通过消除对酉矩阵高阶根（如$\sqrt[2^n]{U}$）计算的需求，避免了数值误差，解决了先前方法的缺陷。
• 电路深度与控制量子比特数量呈线性关系，保持了适用于含噪声中等规模量子（NISQ）设备的效率。
• 该分解方法已在真实量子硬件上成功实现并验证，通过IBM Quantum云服务展示了实际可行性。
• 该方法显著提升了稀疏量子态制备的效率，大幅减少了此类电路所需的CNOT门数量。